Reihenberechnung mit Diff. < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie für |x| < 1 die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (nx)^{2n} [/mm] ,
indem Sie die Reihe [mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{2n+1} [/mm] berechnen und differenzieren. |
hey leute,
ich hätte noch eine aufgabe, die mir etwas probleme bereitet.
ich hatte überlegt, die reihe in eine geometrische reihe umzuwandeln, da ich ja mit |x|<1 arbeite. bin aber nur bis zu dem schritt
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} x^{2n+1} [/mm] =
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} [/mm] ( [mm] x^{n} [/mm] * [mm] x^{n+1})
[/mm]
gekommen, und weiß nicht, wie ich das jetzt umformen könnte...
ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen denkanstoß geben...
vielen dank im voraus,
gruß Michael
ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:06 Di 01.07.2008 | | Autor: | abakus |
> Berechnen Sie für |x| < 1 die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} (nx)^{2n}[/mm]
> ,
> indem Sie die Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}[/mm]
> berechnen und differenzieren.
> hey leute,
> ich hätte noch eine aufgabe, die mir etwas probleme
> bereitet.
> ich hatte überlegt, die reihe in eine geometrische reihe
> umzuwandeln, da ich ja mit |x|<1 arbeite. bin aber nur bis
> zu dem schritt
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}[/mm] ( [mm]x^{n}[/mm] * [mm]x^{n+1})[/mm]
> gekommen, und weiß nicht, wie ich das jetzt umformen
> könnte...
> ich hoffe ihr könnt mir einen kleinen denkanstoß geben...
>
> vielen dank im voraus,
> gruß Michael
>
> ich habe diese frage in keinem anderen forum gestellt
>
Hallo, wie wäre es mit [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}[/mm] = [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (x^2)^{n+0,5}[/mm]
Das liegt als Wurstscheibe zwischen den Sandwichbroten [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (x^2)^{n}[/mm] und [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (x^2)^{n+1}[/mm]
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danke für den tipp, aber so ganz komm ich leider noch nicht weiter.
das sandwich-theorem sagt doch nur, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty} (x^{2})^{n} [/mm] =
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty} (x^{2})^{n+1} [/mm] = L
[mm] \Rightarrow [/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \summe_{n=0}^{\infty} (x^{2})^{n+0,5} [/mm] = L
oder nicht? dieser ist aber doch in beiden fällen unendlich. und davon kann ich doch keine ableitung bilden...
ich merke schon, dass ich total auf dem holzweg bin...
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:00 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Mathstudent,
es geht also um den Wert der Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty x^{2n+1}$. [/mm] Zur Erinnerung:
Es gilt für alle $|q|<1$:
[mm] $$(\star)\;\;\;\; \sum_{n=0}^\infty q^n=\frac{1}{1-q}$$
[/mm]
Das liefert Dir hier für alle $|x|< 1$:
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty x^{2n+1}=x*\sum_{n=0}^\infty (x^2)^n$$
[/mm]
(Man beachte die Konvergenz der letztstehenden Reihe für $|x|<1$.)
Mit der Formel [mm] $(\star)$, [/mm] angewendet auf [mm] $q:=x^2$ [/mm] (damit gilt wegen $|x|<1$ insbesondere $|q| < 1$) folgt dann
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty x^{2n+1}=x*\frac{1}{1-q}=\frac{x}{1-x^2}$$
[/mm]
Mit anderen Worten:
Der "Trick" liegt hier darin, dass man ein x vor die Reihe zieht ("Vorklammern"), wobei man sich nur überlegen muss, dass man das machen darf...
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:10 Di 01.07.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Abakus,
> Hallo, wie wäre es mit [mm]\summe_{n=0}^{\infty} x^{2n+1}[/mm] =
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (x^2)^{n+0,5}[/mm]
> Das liegt als Wurstscheibe zwischen den Sandwichbroten
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (x^2)^{n}[/mm] und [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (x^2)^{n+1}[/mm]
bringt Dir das was? Ich meine, zum einen kann man Deine letzte Behauptung ja erstmal nur für $x [mm] \ge [/mm] 0$ so stehen lassen (es gelte natürlich weiterhin $|x| < 1$) (mit Zusatzüberlegungen würde das aber sicher reichen, ggf. mit einem Ausschweif ins Komplexe...), zum anderen:
[mm] $\summe_{n=0}^{\infty} (x^2)^{n}=\frac{1}{1-x^2}$ [/mm] und [mm] $\summe_{n=0}^{\infty} (x^2)^{n+1}=\summe_{n=1}^{\infty} (x^2)^{n}=\frac{x^2}{1-x^2}$
[/mm]
Hilft das irgendwie? Ich sehe da gerade jedenfalls nichts...
Gruß,
Marcel
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