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Ein schönen guten Morgen euch allen.
Mich plagen bei diesem schönen Wetter ein paar Umformungen und ich komme einfach nicht weiter.
Ich soll zeigen, dass:
1) [mm] \bruch{1-cos(2x)}{z²} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}4^{k+1})}{(2k+2)!}z^{2k} [/mm] für z [mm] \in \IC \backslash \{0\}
[/mm]
man kann ja den cosinus umformen in:
cos(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}*z^{2}k
[/mm]
Aber das bringt mich nur zu diesem Term:
[mm] \bruch{1-\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}*2z^{2k}}{z²}
[/mm]
Ein paar Ähnlichkeiten sehe ich da schon, aber der Nenner und die [mm] 4^{k+1} [/mm] sind mir noch ein Rätsel wo die herkommen sollen.
2) [mm] \bruch{n*sin(z)-sin(nz)}{z³} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}n*(1-n^{2k})}{(2k+1)!}z^{2k-2} [/mm] für z [mm] \in \IC \backslash \{0\}, [/mm] n [mm] \in \IN
[/mm]
da weiß ich ja wieder, dass der sinus:
sin(z) = [mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}}{(2n+1)!}*z^{2k+1}
[/mm]
da weiß ich aber auch nicht so wirklich, wie ich da weiterkomme. Ich könnte das wieder einsetzen, aber dann hänge ich genauso wie oben bei dem cosinus.
Habt ihr vielleicht nen Ansatz? Wäre klasse!
Einen schönen Mittwoch!
Es grüßt mathejoker
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> 1) [mm]\bruch{1-cos(2x)}{z²}[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^{k}4^{k+1})}{(2k+2)!}z^{2k}[/mm]
> für z [mm]\in \IC \backslash \{0\}[/mm]
>
> man kann ja den cosinus umformen in:
> cos(z) =
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}*z^{2k}[/mm]
>
> Aber das bringt mich nur zu diesem Term:
>
> [mm]\bruch{1-\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}*2z^{2k}}{z²}[/mm]
> Ein paar Ähnlichkeiten sehe ich da schon, aber der Nenner
> und die [mm]4^{k+1}[/mm] sind mir noch ein Rätsel wo die herkommen
> sollen.
Du weißt so viel und hast glaube ich auch nur einen kleinen Fehler bisher, eine vergessene Klammer:
[mm]\bruch{1-cos(2x)}{z²}[/mm]= [mm]\bruch{1-\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}*{(2z)}^{2k}}{z²}[/mm]
[mm] =\bruch{1}{z²}-\bruch{1}{z²}\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(-1)^k}{(2k)!}*{(2z)}^{2k}
[/mm]
Geh nun mit dem [mm] z^{-2} [/mm] in die Summe. Als nächstes hol dir den Term für den Index Null vor die Summe. Jetzt in der Summe umindizieren, so daß es wieder ab Null läuft, und über [mm] (-1)^{k+1} [/mm] nachdenken.
Klappt's?
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Mi 22.06.2005 | | Autor: | mathejoker |
Guten Tag!
Danke für deine Antwort! Kann das jetzt etwas besser nachvollziehen.
Es grüßt mathejoker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:39 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
[mm] \cos(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} = 1 +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} z^{2n} =
1 - \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{(2n)!} z^{2n} =
1 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!} z^{2n+2} =
1 - \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!} z^{2n}z^{2} [/mm]
somit
[mm] \frac{1 - cos(2z)}{z^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!} z^{2n}2^{2n+2} =
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!} z^{2n}4^{n+1}
[/mm]
(ich hoff ich hab mich nicht irgendwo vertan)
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Danke für deine Antwort! Habe das versucht nachzuvollziehen und hat auch ganz gut geklappt. Nur bei dem Schritt:
[mm] \frac{1 - cos(2z)}{z^2} [/mm] = [mm] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!} z^{2n}2^{2n+2}
[/mm]
weiß ich nicht, wie du auf die [mm] 2^{2n+2} [/mm] kommst. Der Rest ist mir klar.
Dann habe ich ne Frage bei der anderen Aufgabe.
Wie gehe ich das denn an. Denn ich habe mal versucht das aufzulösen mit der Definition vom Sinus, komme aber dann nicht weiter. Nach dem Einsetzen bekomme ich im Nenner praktisch sowas n*sin(z) - sin(nz) = 0. Und das kann ja nicht stimmen. Denn sin(z)*n = sin(nz) das ist doch ne falsche Aussage oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathejoker!
Es gilt doch:
[mm] $\bruch{(2z)^{2n+2}}{z^2} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{2^{2n+2}*z^{2n+2}}{z^2} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2n+2}*\bruch{z^{2n+2}}{z^2} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2n+2}*z^{(2n+2)-2} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2n+2}*z^{2n}$
[/mm]
Nun klar(er) und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:40 Mi 22.06.2005 | | Autor: | mathejoker |
ok, jetzt hat es gemacht. Ich hatte einfach die Klammer (2z) falsch aufgelöst.. ähm.. naja :) Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:01 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
> Danke für deine Antwort! Habe das versucht nachzuvollziehen
> und hat auch ganz gut geklappt. Nur bei dem Schritt:
>
> [mm]\frac{1 - cos(2z)}{z^2}[/mm] = [mm]\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+2)!} z^{2n}2^{2n+2}[/mm]
>
> weiß ich nicht, wie du auf die [mm]2^{2n+2}[/mm] kommst. Der Rest
> ist mir klar.
Das hat soeben Loddar reicht fein beantwortet. Vielleicht waren meine Schritte zu schnell, aber ich wollte mir Tipparbeit ersparen 
der Rechengang von [mm] \cos(z) [/mm] zu [mm] \cos(2z) [/mm] war ein bisserl gach(=schnell).
> Dann habe ich ne Frage bei der anderen Aufgabe.
> Wie gehe ich das denn an. Denn ich habe mal versucht das
> aufzulösen mit der Definition vom Sinus, komme aber dann
> nicht weiter. Nach dem Einsetzen bekomme ich im Nenner
> praktisch sowas n*sin(z) - sin(nz) = 0. Und das kann ja
> nicht stimmen. Denn sin(z)*n = sin(nz) das ist doch ne
> falsche Aussage oder?
genau. [mm] \sin(nz) = n*\sin(z) [/mm] gilt z.B. fuer n=0,z=0,... beziehungsweise fuer den ersten Summanden in der Reihe, das wird auch angewand, wenn du dir die Indizes des Summenzeichens anschaust.
also schau dir mal den zaehler an
[mm] n*\sin(z) - \sin(n*z) [/mm]
[mm]= n*\summe_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1} - \summe_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}(z*n)^{2k+1} [/mm]
[mm]= nz - nz + \summe_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}*n - \summe_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}n*n^{2k} [/mm]
[mm]= \summe_{k=1}^{\infty} (\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}*n - \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}n*n^{2k}) [/mm]
[mm] = \summe_{k=1}^{\infty} (\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k+1}*n*(1 - n^{2k})) [/mm]
[mm] = z^3\summe_{k=1}^{\infty} (\frac{(-1)^k}{(2k+1)!}z^{2k-2}*n*(1 - n^{2k})) [/mm]
und jetzt noch mit dem Nenner die [mm] z^3 [/mm] kuerzen. fertig.
aber rechne bitte selbst nach.
lG
Peter
(Anmerkung: ich habe nicht die (Teil)Summe herausgehoben, das ist sehr kritisch, sondern zuerst die Summanden (nach Ueberpruefung der Indizes) in eine Summe geschrieben!)
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Ein schönen guten Abend!
da kommt man aber ganz schön durcheinander. :)
Bin es grad nochmal durchgegangen und denke es zu durchschauen. Man zieht zuerst den Index 0 raus, der sich dann auflöst. Dann zieht man die ganze Summe raus und erhält das Produkt.
Aber ich glaube ich wäre nicht darauf gekommen, dann die z³ aus [mm] z^{2k+1} [/mm] herauszuziehen.
Wow :) Danke.
Ich hätte jetzt nur noch eine kleine Frage.
Wir hatten dann auch mal Grenzwerte darauß berechnet. Und zwar:
[mm] \limes_{n\rightarrow\pi/2} \bruch{1+cos(2x)}{(x-\bruch{\pi}{2})²}
[/mm]
und
[mm] \limes_{n\rightarrow0} \bruch{n*sin(x)-sin(n*x)}{x³*(1-sin(2x))}
[/mm]
da bekomme ich aber bei beiden Werten [mm] \bruch{0}{0} [/mm] raus. Kann man da irgendwas umformen? Oder muss ich da mit L'Hopital arbeiten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:06 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mathejoker!
Du meinst bestimmt [mm]\limes_{\red{x}\rightarrow\bruch{\pi}{2}} \bruch{1+\cos(2x)}{\left(x-\bruch{\pi}{2}\right)^2}[/mm] bzw. [mm]\limes_{\red{x}\rightarrow 0} \bruch{n*\sin(x)-\sin(n*x)}{x^3*\left[1-\sin(2x)\right]}[/mm] ?
Also mir fällt hier spontan keine sinnvolle Umformung ein, aber mit dem Grenzwertsatz nach de l'Hospital (mehrfach anwenden!) kommst Du auf jeden Fall zum Ziel ...
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:42 Mi 22.06.2005 | | Autor: | Dreieck |
Hi!
[mm]\limes_{\red{x}\rightarrow 0} \bruch{n*\sin(x)-\sin(n*x)}{x^3*\left[1-\sin(2x)\right]}[/mm]
sollte ja nicht wirklich Probleme machen, wenn man die Umformung anwendet, da sich das [mm] x^3 [/mm] fein kuerzen laesst, und in der ueberbleibenden Reihe die Potenz von x immer groesser gleich 0 ist (2k-2 ist wegen k=1 bis ... nie kleiner Null), somit darf x ruhig Null sein, und der Rest im Nenner ist dann nur noch [mm]1-\sin(2x) [/mm] somit fuer x=0 ergibt das 1-0=1. Somit mueste doch der Limes fuer x gegen 0 = 0/1 also 0 sein. Das waer dann doch eine hebbare Polstelle, oder so aehnlich.
lG
Peter
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