Reihen mit log und arctan < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Do 19.07.2012 | | Autor: | rollroll |
| Aufgabe | Ich möchte die Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{arctan(n)}{n^2}
[/mm]
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*log(n)}
[/mm]
auf Konvergenz prüfen. |
zu a) geht das mit dem Majorantenkriterium? Also [mm] \bruch{arctan}{n^2} \le \bruch{1}{n^2} [/mm] für fast alle n. --> die Reihe konvergiert
(Ich zweifle aber dass diese Ungleichung gilt...
Eine andere Möglichkeit wäre vielleicht:
Man setzt [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{arctan}{n^2} [/mm] und [mm] b_n [/mm] = [mm] \bruch{1}{n^2} [/mm] und bildet den GW von [mm] a_n/b_n [/mm] für n gegen unendlich. Der arctan(n) für n gegen unendlich geht ja gegen [mm] \pi [/mm] /2. Daraus würde dann ja die Konvergenz der Reihe folgen.
zu b) Hier frage ich mich ob man die Divergenz der Reihe auch ohne das Reihenverdichtungskriterium zeigen kann?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:25 Fr 20.07.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich möchte die Reihen
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{arctan(n)}{n^2}[/mm]
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n*log(n)}[/mm]
> auf Konvergenz
> prüfen.
>
>
> zu a) geht das mit dem Majorantenkriterium? Also
> [mm]\bruch{arctan}{n^2} \le \bruch{1}{n^2}[/mm] für fast alle n.
> --> die Reihe konvergiert
> (Ich zweifle aber dass diese Ungleichung gilt...
ich zweifle auch an dieser Ungleichung. Aber wie wäre es, wenn Du zeigst, dass die Reihe absolut konvergiert: Immerhin solltest Du doch [mm] $\red{|}\text{arctan}(n)\red{|} \le \pi/2$ [/mm] begründen können... (Beachte die Betragszeichen - zudem schreibst Du immer [mm] $\text{arctan}\,,$ [/mm] meinst da aber sicher [mm] $\arctan(n)$...)
[/mm]
> Eine andere Möglichkeit wäre vielleicht:
> Man setzt [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{arctan}{n^2}[/mm] und [mm]b_n[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{n^2}[/mm] und bildet den GW von [mm]a_n/b_n[/mm] für n gegen
> unendlich. Der arctan(n) für n gegen unendlich geht ja
> gegen [mm]\pi[/mm] /2. Daraus würde dann ja die Konvergenz der
> Reihe folgen.
??? Zumal da dann [mm] $a_n/b_n=\frac{\arctan(n)/n^2}{1/n^2}=\arctan(n)$ [/mm] stünde. Was willst Du hier eigentlich machen? Also diese "Möglichkeit" ist mir vollkommen unklar - da steckt auch keine Struktur dabei, warum Du das überhaupt machen willst...
> zu b) Hier frage ich mich ob man die Divergenz der Reihe
> auch ohne das Reihenverdichtungskriterium zeigen kann?
Warum willst Du das denn ohne Reihenverdichtungskriterium machen? (Cauchyscher Verdichtungssatz!) Aber ich denke, dass das geht - jedenfalls, wenn man ein wenig Integrationstheorie kennt und auch das ![[]](/images/popup.gif) Integralkriterium für Reihen.
Ich würde aber den Cauchyschen Verdichtungssatz benutzen. Und natürlich:
Wenn man das Integralkriterium für Reihen kennt und versteht, kann man hier sicher auch eine divergente Minorante "bauen".
P.S.
Wegen [mm] $\log(1)=0$ [/mm] glaube ich, dass die zweite Reihe nicht mit dem unteren Index [mm] $1\,,$ [/mm] sondern [mm] $2\,$ [/mm] startet. Kontrollier' das bitte!
P.P.S.
Mit [mm] $y(x)=\ln(x)$ [/mm] gilt $dy/dx=1/x$ und daher
[mm] $$\int \frac{1}{x \ln(x)}dx=\int \frac{1}{y}dy=\ln(y)+\text{const}=\ln(\ln(x))+\text{const}\,.$$
[/mm]
Wie sieht's mit [mm] $\lim_{r \to \infty} \ln(r)$ [/mm] aus? Was folgt für [mm] $\lim_{x \to \infty}\ln(\ln(x))$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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