Reihen gleich < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Man hat zwei Reihen [mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_n [/mm] und es gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] = [mm] b_n, [/mm] gilt dann auch
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}a_n [/mm] und [mm] \summe_{i=1}^{\infty}b_n?
[/mm]
Wenn nein, gilt dies wenn eine weitere Bedingung erfüllt ist, wie absolute konvergenz z.B.?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:02 Mi 15.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Man hat zwei Reihen [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm]
Besser: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm]
> und
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}b_n[/mm] und es gilt
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = [mm]b_n,[/mm]
Meinst Du [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm] = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm] ?
> gilt dann auch
>
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty}a_n[/mm] und [mm]\summe_{i=1}^{\infty}b_n?[/mm]
Hä ? Was meinst Du mit "und" ? Meinst Du: [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] =[mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_n[/mm] ?
Wenn ja, so stimmt das nicht. Nimm irgendwelche konvergenten Reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty}a_n[/mm] und [mm]\summe_{n=1}^{\infty}b_n[/mm]
Dann ist [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_n[/mm]=0 = [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}b_n[/mm]
FRED
> Wenn nein, gilt dies wenn eine weitere Bedingung erfüllt
> ist, wie absolute konvergenz z.B.?
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danke du hast alles richtig gedeutet.
wie sieht es aus, wenn
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}| [/mm] = 1 gilt, w"urden dann die Reihen gleich sein?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:30 Mi 15.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> danke du hast alles richtig gedeutet.
> wie sieht es aus, wenn
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1 gilt,
> w"urden dann die Reihen gleich sein?
Nein. Nimm [mm] a_n= \bruch{1}{n} [/mm] und [mm] b_n=(-1)^n* \bruch{1}{n} [/mm]
[mm] \sum a_n [/mm] ist divergent, [mm] \sum b_n [/mm] ist konvergent.
FRED
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gut :)
dann bleibt nur noch ein Fall übrig
Wenn [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}| [/mm] = 1 gilt, ist dann
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}|a_n| [/mm] = [mm] \summe_{n=1}^{\infty}|b_n| [/mm] ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:41 Mi 15.08.2012 | | Autor: | abakus |
> gut :)
> dann bleibt nur noch ein Fall übrig
>
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> gilt, ist dann
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm] ?
Wirklich?
[mm]a_n=\bruch{n}{n+1}[/mm]
[mm]b_n=2-\bruch{n}{n+1}[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:44 Mi 15.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> gut :)
> dann bleibt nur noch ein Fall übrig
>
> Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> gilt, ist dann
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm] ?
Nein.
Beispiel:
[mm] a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876}
[/mm]
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 07:44 Do 16.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > gut :)
> > dann bleibt nur noch ein Fall übrig
> >
> > Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> > gilt, ist dann
> > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] = [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm]
> ?
>
> Nein.
>
> Beispiel:
>
> [mm]a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876}[/mm]
>
> FRED
coole Zahl: 123456789876543212345678909876
Steckt bestimmt irgendwo in [mm] $\pi$'s [/mm] Nachkommastellen mit drin 
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:59 Do 16.08.2012 | | Autor: | Richie1401 |
Guten Morgen,
> Hallo Fred,
>
> > > gut :)
> > > dann bleibt nur noch ein Fall übrig
> > >
> > > Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> > > gilt, ist dann
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] =
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm]
> > ?
> >
> > Nein.
> >
> > Beispiel:
> >
> > [mm]a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876}[/mm]
>
> >
> > FRED
>
> coole Zahl: 123456789876543212345678909876
>
> Steckt bestimmt irgendwo in [mm]\pi[/mm]'s Nachkommastellen mit drin
>
Allerdings nicht in den ersten 200000000 Nachkommestellen. :/
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:06 Do 16.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Morgen,
>
> > Guten Morgen,
> >
> > > Hallo Fred,
> > >
> > > > > gut :)
> > > > > dann bleibt nur noch ein Fall übrig
> > > > >
> > > > > Wenn [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}|[/mm] = 1
> > > > > gilt, ist dann
> > > > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|a_n|[/mm] =
> > > [mm]\summe_{n=1}^{\infty}|b_n|[/mm]
> > > > ?
> > > >
> > > > Nein.
> > > >
> > > > Beispiel:
> > > >
> > > > [mm]a_n=\bruch{1}{n^2}, b_n=\bruch{1}{n^2+123456789876543212345678909876}[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > FRED
> > >
> > > coole Zahl: 123456789876543212345678909876
> > >
> > > Steckt bestimmt irgendwo in [mm]\pi[/mm]'s Nachkommastellen mit drin
> > >
> > Allerdings nicht in den ersten 200000000
> Nachkommestellen.
> > :/
>
> na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> Antwort gegeben hat. Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> angeguckt. 
Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm] \pi, [/mm] und die hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich die Antwort schrieb.
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:19 Fr 17.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
>
> > > na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> > > Antwort gegeben hat. Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> > > angeguckt.
> >
> > Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm]\pi,[/mm] und die
> > hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich
> > die Antwort schrieb.
>
> oh, eine [mm]\pi[/mm]-sa-Studie ^^
Ja, beim [mm] \pi-\pi [/mm] machen habe ich die Studie durchgeführt.
[mm] \pi-\pi=0, [/mm] ich glaub , ich muß zum Urologen.
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:32 Fr 17.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo Fred,
> > Hallo,
> >
> > > > na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> > > > Antwort gegeben hat. Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> > > > angeguckt.
> > >
> > > Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm]\pi,[/mm] und die
> > > hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich
> > > die Antwort schrieb.
> >
> > oh, eine [mm]\pi[/mm]-sa-Studie ^^
>
> Ja, beim [mm]\pi-\pi[/mm] machen habe ich die Studie durchgeführt.
>
> [mm]\pi-\pi=0,[/mm] ich glaub , ich muß zum Urologen.
ist gut jetzt mit der [mm] $\pi$-sackerei [/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:49 Fr 17.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > > na, das zeigt doch, wie viel Mühe sich Fred mit seiner
> > > > > Antwort gegeben hat. Er hat sich [mm]\pi[/mm] "sehr gut"
> > > > > angeguckt.
> > > >
> > > > Genau, meine Tastatur hat nämlich den Namen [mm]\pi,[/mm] und die
> > > > hab ich mir rauf und runter sehr genau angesehen, bevor ich
> > > > die Antwort schrieb.
> > >
> > > oh, eine [mm]\pi[/mm]-sa-Studie ^^
> >
> > Ja, beim [mm]\pi-\pi[/mm] machen habe ich die Studie durchgeführt.
> >
> > [mm]\pi-\pi=0,[/mm] ich glaub , ich muß zum Urologen.
>
> ist gut jetzt mit der [mm]\pi[/mm]-sackerei
O.K., [mm] \pi- [/mm] sdemnächst
FRED
>
> Gruß,
> Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:44 Fr 17.08.2012 | | Autor: | abakus |
>
>
> O.K., [mm]\pi-[/mm] sdemnächst
> FRED
> >
> > Gruß,
> > Marcel
>
Ich werd mich auch [mm] ver$\pi$ssen.
[/mm]
[mm] $\pi$hs! [/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:56 Fr 17.08.2012 | | Autor: | reverend |
Tach auch.
Ich will ja nicht [mm] $\pi$ngelig [/mm] werden, aber hier gehts wieder [mm] ra$\pi$de [/mm] vom Thema weg. Das ist doch kein [mm] S$\pi$elplatz [/mm] hier.
Wenn ich mir ansehe, zu welcher Tageszeit Ihr Eure [mm] la$\pi$daren [/mm] Bemerkungen austauscht, glaube ich aber zumindestens das mit dem Uhrologen...
Grüße
reverend
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Fr 17.08.2012 | | Autor: | fred97 |
> Tach auch.
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> Ich will ja nicht [mm]\pi[/mm]ngelig werden, aber hier gehts wieder
> ra[mm]\pi[/mm]de vom Thema weg. Das ist doch kein S[mm]\pi[/mm]elplatz hier.
Nein ? Was mach ich dann seit über 4 Jahren hier ?
FRED
>
> Wenn ich mir ansehe, zu welcher Tageszeit Ihr Eure
> la[mm]\pi[/mm]daren Bemerkungen austauscht, glaube ich aber
> zumindestens das mit dem Uhrologen...
>
> Grüße
> reverend
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:21 Di 28.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Tach auch.
> >
> > Ich will ja nicht [mm]\pi[/mm]ngelig werden, aber hier gehts wieder
> > ra[mm]\pi[/mm]de vom Thema weg. Das ist doch kein S[mm]\pi[/mm]elplatz hier.
>
> Nein ? Was mach ich dann seit über 4 Jahren hier ?
[mm] $\pi$rouetten [/mm] drehen, und außerdem gucken wir jetzt alle [mm] $\Pi$-$\pi$ [/mm] Langstrumpf...
P.S. Oder [mm] $\Pi$nocchio...
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:26 Do 16.08.2012 | | Autor: | Marcel |
hier hatte ich fälschlicherweise eine Antwort auf eine andere Frage geschrieben!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:26 Do 16.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> danke du hast alles richtig gedeutet.
> wie sieht es aus, wenn
> $ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_n}{b_n}| [/mm] $ = 1 gilt, w"urden dann die Reihen
> gleich sein?
neben dem bisher vorgeschlagenen:
Die Frage ist eigentlich total bescheuert (versteh' das nicht falsch: ich meine damit nicht, dass Du bescheuerte Fragen stellst, sondern dass man da so einfache Gegenbeispiele findet, dass man hinterher denkt: "boah, was für 'ne bescheuerte Frage" - also: ich will weder Dich noch Deine Fragen bewerten!!), denn ebensogut könnte man fragen, ob es Zahlen $r [mm] \in \IR$ [/mm] gibt mit [mm] $-r=r\,.$ [/mm] Ja, gibt's, aber nur eine, nämlich die [mm] $0\,.$
[/mm]
Was ich damit meine folgt aus 1.):
1.) Ist [mm] $\sum_{n=1}^\infty a_n$ [/mm] irgendeine in [mm] $\IR$ [/mm] konvergente Reihe, sei also [mm] $s:=\sum_{n=1}^\infty a_n\,,$ [/mm] dann betrachte einfach [mm] $\sum_{n=1}^\infty \underbrace{(-a_n)}_{=:b_n}=-s\,.$
[/mm]
Dabei sollten alle bis auf endlich viele [mm] $a_n$ [/mm] allerdings erfüllen [mm] $a_n \not=0\,.$
[/mm]
Aber neben dem bisher betrachteten gibt's auch noch ein anderes banales Beispiel:
2.) Betrachte einfach mal [mm] $a_n:=1/ n^2$ [/mm] und [mm] $b_n:=a_{n+1}=1/(n+1)^2\,.$
[/mm]
(P.S.: Was käme bei 2) dem Quotientenkriterium wohl raus? Oder anders gefragt: Wie findet man mehrere passende Beispiele, bei denen man "nur bei den Summanden den Index um 1 verschieben muss"?)
Gruß,
Marcel
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Danke für die Antworten, trotz meiner [mm] \pi\pi-Frage.
[/mm]
Es war für mich auch eine Frage der Definition wann Reihen gleich sind, siehe
http://de.wikipedia.org/wiki/Reihe_(Mathematik)#Semantik_und_Vergleich
daher wollte ich zurück auf die Ebene der Summanden
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