Reihen auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:45 So 11.11.2007 | | Autor: | jboss |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden reihen konvergent oder divergent sind. Untersuchen Sie die konvergenten Reihen auch auf absolute Konvergenz.
d) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} e^{-k} k^{10}
[/mm]
e) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k + 1}
[/mm]
f) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{2} [/mm] + [mm] \bruch{1}{k} )^k
[/mm]
g) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k^2}{k!}
[/mm]
h) [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^{k-1}} [/mm] |
Hallo liebe Mathematikfreunde,
ich habe mir bereits intensiv Gedanken zu den obigen Aufgaben gemacht die ich euch natürlich nicht vorenthalten möchte. Allerdings tue ich mir mit der Konvergenzbestimmung von Reihen noch sehr schwer. Im Gegensatz zur Bestimmung der Konvergenz von Folgen finde ich dieses Gebiet wesentlich anspruchsvoller 
Habe den Artikel nun einmal bearbeitet, da ich inzwischen die Konvergenz/Divergenz der der Aufgaben a, b und c bestimmen konnte.
Bei den oben aufgeführten Aufgaben habe ich jedoch arge Probleme. Bei d, e und f bin ich total ratlos. Aufgabe g habe ich mit dem Quotientenkriterium bearbeitet, aber nichts gescheites herausbekommen.
Zu Aufganeteil h ist mir aufgefallen, dass wir in der Vorlesung bereits die absolute Konvergenz der Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^k} [/mm] gezeigt haben.
Folglich könnte ich doch mittels einer Indexveschiebung und dem Majorantenkriterium die Konvergenz der Reihe unter Aufgabenteil h beweisen oder?
Hab mir das folgendermaßen überlegt:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{k!}{k^{k-1}} [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k!}{(k+1)^k}
[/mm]
(Bei der Indexverschiebung kann ich doch das k! so belassen, da 0! = 1! = 1 stimmts?)
somit ist gemäß Majorantenkriterium:
[mm] |\bruch{k!}{(k+1)^k}| [/mm] <= [mm] \bruch{k!}{k^k} [/mm] und damit die Konvergenz der Reihe beweisen.
Seid so lieb und helft mir Ansätze zur Lösung der übrigen Aufgaben zu finden.
Gruss Jakob
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:42 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Jakob!
Bis auf Aufgabe e.) kannst Du hier jedesmal mit dem Quotientenkriterium vorgehen.
Bei der Aufgabe e.) solltest Du zum Abschätzen die harmonische Reihe im Hinterkopf haben.
Hier noch ein kleiner Umformungstipp zu Aufgabe f.):
[mm] $$\left(\bruch{1}{2}+\bruch{1}{k} \right)^k [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2^k}*\left(1+\bruch{2}{k} \right)^k$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Mephis |
Hallo,
kann vielleicht jemand noch was zu Aufgabe d) sagen?
Ich habe versucht diese Aufgabe mit dem vorgeschlagenen Quotientenkriterium zu lösen und habe folgendes rausbekommen:
[mm] e^{1+\bruch{1}{k}}(1+\bruch{1}{k})^{10}
[/mm]
Damit kann ich nicht wirklich was anfangen. Entweder habe ich mich verrechnet oder habe ich einfach zu wenig Erfahrung und sehe die Lösung nicht.
Bitte um schnelle Hilfe, da ich die Lösung Morgen abgeben muss.
Danke im Voraus und viele Gruesse
Mephis
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Hallo Mephis,
du hast dich verrechnet, was die Potenz von $e$ angeht.
Das [mm] $\left(1+\frac{1}{k}\right)^{10}$ [/mm] strebt gegen 1 für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Rechne nochmal nach, da sollte dann für [mm] $\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac{1}{e}\cdot{}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{10}$ [/mm] rauskommen
Und das strebt dann gegen [mm] $\frac{1}{e}<1$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
Also konvergiert das Biest
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:11 Mo 12.11.2007 | | Autor: | Mephis |
Vielen Dank schachuzipus...
... und gute Nacht :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:12 Mo 12.11.2007 | | Autor: | jboss |
Grüß dich Loddar! Du warst mir heute wirklich ein große Hilfe. Vielen Dank dafür!
Aufgabe d) habe ich jedoch mit dem Wurzelkriterium gelöst. Quotientenkriterium kam bei Aufgabe g) ins Spiel. h) habe ich mit Hilfe einer Indexverschiebung und dem Majorantenkriterium gelöst.
Gruss Jakob
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