Reihen; Lösungsweg richig? < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:17 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
| Aufgabe | Man beweise oder wiederlege die folgenden Aufgaben über reelle Reihen
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{(-1)^{n}}{^{n} \wurzel{2}} [/mm] |
Hallo,
da ich fleißig am üben bin, müsste ich natürlich wissen, ob
meine Lösung, Lösungsweg stimmt.
Ich bitte auch um Korrektur, Verbesserungsvorschläge.
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} (-1)^{n} \bruch{1}{^{n} \wurzel{2}}
[/mm]
Leibnizkriterium:
Nullfolge?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{^{n} \wurzel{2}} [/mm] = 1 denn [mm] ^{n}\wurzel{2} [/mm] für n gegen unendlich wird immer mehr 1
also ist es keine Nullfolge.
monoton fallend?
[mm] a_{n} [/mm] - [mm] a_{n+1} \ge [/mm] 0 (Voraus.)
[mm] \bruch{1}{^{n} \wurzel{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{^{n+1} \wurzel{2}} [/mm] = [mm] \bruch{^{n+1} \wurzel{2} - ^{n} \wurzel{2}}{^{n}\wurzel{2} * ^{n+1} \wurzel{2}} \le [/mm] 0
ich meine, dass man das so sieht...
Leibnizkriterium nicht erfüllt. Reihe divergiert.
Muss ich jetzt ein anderes Kriterium testen, weil es für dieses nicht gilt?
Wenn ja, welches wäre dann empfehlenswert?
Vielen Dank für Hilfe
Gruß Doreen
Diese Frage habe ich in keinen anderem Forum gestellt
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Hallo Doreen!
> Nullfolge?
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> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{^{n} \wurzel{2}}[/mm] = 1
> denn [mm]^{n}\wurzel{2}[/mm] für n gegen unendlich wird immer mehr 1
>
> also ist es keine Nullfolge.
Die Schlussfolgerung ist richtig! Aber hast Du das auch "nur gesehen" bzw. ausprobiert?
Hier meine Idee:
[mm] $\bruch{1}{\wurzel[n]{2}} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2^{\bruch{1}{n}}} [/mm] \ = \ [mm] 2^{-\bruch{1}{n}}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ $\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{1}{\wurzel[n]{2}} [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}2^{-\bruch{1}{n}} [/mm] \ = \ [mm] 2^{\limes_{n\rightarrow\infty}\left(-\bruch{1}{n}\right)} [/mm] \ = \ [mm] 2^0 [/mm] \ = \ 1 \ [mm] \not= [/mm] \ 0$
> monoton fallend?
Das brauchst Du nun gar nicht mehr nachweisen, da das notwendige Kriterium für Reihenkonvergenz mit [mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ =! \ 0$ nicht erfüllt ist.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:42 Fr 20.01.2006 | | Autor: | Doreen |
Du hast mich wieder erwischt....
das habe ich durch ausprobieren herausgefunden....
Woher du nur das wissen kannst...???
Auch hier werde ich versuchen mich zu bessern...
Danke für Deine Tipps...
Gruß Doreen
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