Reihen, Konvergenz - absolut < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:45 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Marcco |
| Aufgabe | Man zeige:
Sind die Reihen [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b^{2}_{n} [/mm] konvergent, so konvergiert die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n} [/mm] absolut. |
Gibt es dazu vielleicht ein bestimmtes Kriterium welches ich anwenden kann?
Wenn ja, welches?
Was ich mir zu der Aufgabe schon gedacht habe:
Ich denke ich muss mich wieder an die absolute Konvergenz halten, also den "Betrag".
Aber wie behandel ich denn das "a²" oder "b²"?
Ich weiß, dass meine Summe [mm] a_n [/mm] den Grenzwert a hat!
Oder hat die Aufgabe vielleicht etwas mit der Geometrischen Reihe zu tun?
Bin für jeden Tipp dankbar, aber keine Vollständige Lösung bitte.
Beste Grüße
Marco
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:51 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Marcco |
Kann ich es vielleicht auch über die Partialsumme machen?
Das ich mir die Summe einfach bis " m " begrenze?
Also so:
[mm] \summe_{n=1}^{m}a_{n}^{2}
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:57 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
ganz spontan würde ich es veruschen, mit HIlfe des Majorantenkriteriums zu beweisen.
Habe jetzt aber leider nicht die Zeit, um dir den ganzen Formalismus zu zeigen, bzw. um zu gucken, ob das stimmt. Aber das wäre eine Idee. Guck dir das Krit. mal an, und versuche es darauf anzuwenden.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Marcco |
sorry!
Aber das bringt mich leider nicht weiter.
LG Marco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Di 11.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marco!
Betrachte hier: [mm] $a_n*b_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \max(a_n;b_n)*\max(a_n;b_n)$ [/mm] .
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:41 Mo 10.12.2007 | | Autor: | Marcco |
| Aufgabe | Man zeige:
Sind die Reihen $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n} [/mm] $ und $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} b^{2}_{n} [/mm] $ konvergent, so konvergiert die Reihe $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n} [/mm] $ absolut. |
Gibt es dazu vielleicht ein bestimmtes Kriterium welches ich anwenden kann?
Wenn ja, welches?
Was ich mir zu der Aufgabe schon gedacht habe:
Ich denke ich muss mich wieder an die absolute Konvergenz halten, also den "Betrag".
Aber wie behandel ich denn das "a²" oder "b²"?
Ich weiß, dass meine Summe $ [mm] a_n [/mm] $ den Grenzwert a hat!
Oder hat die Aufgabe vielleicht etwas mit der Geometrischen Reihe zu tun?
Kann ich es vielleicht auch über die Partialsumme machen?
Das ich mir die Summe einfach bis " m " begrenze?
Also so:
$ [mm] \summe_{n=1}^{m}a_{n}^{2} [/mm] $
Bin für jeden Tipp dankbar, aber keine Vollständige Lösung bitte.
Beste Grüße
Marco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mo 10.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Man zeige:
>
> Sind die Reihen [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a^{2}_{n}[/mm] und
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} b^{2}_{n}[/mm] konvergent, so konvergiert
> die Reihe [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}b_{n}[/mm] absolut.
> Kann ich es vielleicht auch über die Partialsumme machen?
>
> Das ich mir die Summe einfach bis " m " begrenze?
>
> Also so:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{m}a_{n}^{2}[/mm]
>
> Bin für jeden Tipp dankbar, aber keine Vollständige Lösung
> bitte.
das ist eine ganz gute idee.
überlege dir, ob du eine abschätzung der form [mm] $\sum_{n = 1}^m|a_nb_n| \leq [/mm] k [mm] \left( \sum_{n = 1}^m a_n^2 + \sum_{n = 1}^m b_n^2 \right)$ [/mm] hinbekommst. ich vermute, dass es sich um reihen mit reellen glieder handeln sollte. dann hilft dir [mm] $|c|^2 [/mm] = [mm] c^2$ [/mm] und eine binomische formel vielleicht weiter.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:00 Di 11.12.2007 | | Autor: | Marcco |
Leider komm ich damit auch nicht weiter!
Wäre für mehr Hilfe sehr offen 
Gruß Marco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:11 Mi 12.12.2007 | | Autor: | andreas |
hi
> Leider komm ich damit auch nicht weiter!
>
> Wäre für mehr Hilfe sehr offen
man kann dir sehr viel besser helfen, wenn du mal schreibst, was du denn schon probiert hast und wo du nicht weiterkommst. hast du denn mal probiert, die von mir angegeben abschätzung zu zeigen? wenn du das nicht sofort siehst, probiere es doch mal mit nur einem summanden anstatt für die ganze partialsumme.
ist dir klar, dass dann daraus und dem majorantenkritereium die konvergenz folgt?
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:09 Di 11.12.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Marco!
Bitte keine Doppelposts hier innerhalb des MatheRaums fabrizieren!
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:22 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Marcco |
Sorry tut mir leid. Hatte es zu Anfang leider falsch Kategorisiert.
Kommt nicht mehr vor.
LG Marco
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:19 Mi 12.12.2007 | | Autor: | Marcco |
Könntet ihr vielleicht noch ein bisschen genauer werden, komm nämlich mit den Tipps nicht wirklich so weiter!
LG Marco
|
|
|
|
