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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 30.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
| Aufgabe | Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Geben Sie eine Begründung oder ein Gegenbeispiel.
i.)Wenn [mm] (a_{k})_{k} [/mm] nach oben nicht beschränkt ist, dann konvergiert [mm] \summe_{k \in \IN} \bruch{1}{a_{k}}
[/mm]
ii.) Wenn [mm] (a_{k})k [/mm] eine alternierende Nullfolge ist, dann konvergiert auch [mm] \summe_{k \in \IN} [/mm] (k * [mm] a_{k})
[/mm]
iii.) Wenn [mm] \summe_{k \in \IN} a_{k} [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch [mm] \summe_{k \in \IN} a^{2}_{k}
[/mm]
iv.) Wenn [mm] \summe_{k \in \IN} a_{k} [/mm] konvergiert, dann konvergiert auch [mm] \summe_{k \in \IN} \bruch{a_{k}}{1+ a^{2}_{k}} [/mm] |
Hallo,
ich habe fast alle Aufgaben, die da oben stehen schon gelöst, würde aber gerne Wissen ob es richtig gemacht habe.
i.) Gegenbeispiel: Sei die Folge [mm] a_{k}=\bruch{1}{k} \Rightarrow [/mm] Die Reihe [mm] \summe_{k \in \IN} \bruch{1}{a_{k}} [/mm] Konvergiert nicht
ii.)Gegenbeispiel: Da die Folge eine alternierende Nullfolge, sieht [mm] \summe_{k \in \IN} [/mm] (k * [mm] a_{k}) [/mm] folgendermaßen aus:
(Beispeil) 1+1/2 + 2*-1/3 + 3 *1/4 + 4 * - 1/5 ... Man sieht, dass der Abstand immer größer zur Null wird und deswegen Konvergiert die Reihe nicht.
iii.) Gegenbeispiel: [mm] \summe_{k \in \IN} (-1)^{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{k}} [/mm] - Nach Leibniz Konvergiert die Reihe aber
[mm] \summe_{k \in \IN} ((-1)^{k} [/mm] * [mm] \bruch{1}{\wurzel{k}})^{2}
[/mm]
iv.) hab ich noch keine Idee
Bei der ii.) bin ich mir nicht Sicher ob die Folge so richtig ist.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:51 Do 30.05.2013 | | Autor: | abakus |
> Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Geben Sie
> eine Begründung oder ein Gegenbeispiel.
>
> i.)Wenn [mm](a_{k})_{k}[/mm] nach oben nicht beschränkt ist, dann
> konvergiert [mm]\summe_{k \in \IN} \bruch{1}{a_{k}}[/mm]
> ii.) Wenn
> [mm](a_{k})k[/mm] eine alternierende Nullfolge ist, dann konvergiert
> auch [mm]\summe_{k \in \IN}[/mm] (k * [mm]a_{k})[/mm]
> iii.) Wenn [mm]\summe_{k \in \IN} a_{k}[/mm] konvergiert, dann
> konvergiert auch [mm]\summe_{k \in \IN} a^{2}_{k}[/mm]
> iv.) Wenn
> [mm]\summe_{k \in \IN} a_{k}[/mm] konvergiert, dann konvergiert auch
> [mm]\summe_{k \in \IN} \bruch{a_{k}}{1+ a^{2}_{k}}[/mm]
> Hallo,
> ich habe fast alle Aufgaben, die da oben stehen schon
> gelöst, würde aber gerne Wissen ob es richtig gemacht
> habe.
>
> i.) Gegenbeispiel: Sei die Folge [mm]a_{k}=\bruch{1}{k} \Rightarrow[/mm]
> Die Reihe [mm]\summe_{k \in \IN} \bruch{1}{a_{k}}[/mm] Konvergiert
> nicht
>
> ii.)Gegenbeispiel: Da die Folge eine alternierende
> Nullfolge, sieht [mm]\summe_{k \in \IN}[/mm] (k * [mm]a_{k})[/mm]
> folgendermaßen aus:
> (Beispeil) 1+1/2 + 2*-1/3 + 3 *1/4 + 4 * - 1/5 ... Man
> sieht, dass der Abstand immer größer zur Null wird und
> deswegen Konvergiert die Reihe nicht.
>
>
> iii.) Gegenbeispiel: [mm]\summe_{k \in \IN} (-1)^{k}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] - Nach Leibniz Konvergiert die Reihe
> aber
> [mm]\summe_{k \in \IN} ((-1)^{k}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}})^{2}[/mm]
>
> iv.) hab ich noch keine Idee
Hallo,
für positive [mm]a_k[/mm] gilt [mm]a_k=\bruch{a_k}{1}>\bruch{a_k}{1+a_k^2}[/mm] ( wenn der Nenner größer wird, wird der Bruch kleiner).
Somit wäre die Summe der [mm] $a_k$ [/mm] eine konvergente Majorante.
Überlege nun noch, wie das aussieht, wenn die [mm] $a_k$ [/mm] irgenwann konstant Null wären oder wenn es negative [mm] $a_k$ [/mm] gibt.
Gruß Abakus
>
> Bei der ii.) bin ich mir nicht Sicher ob die Folge so
> richtig ist.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:25 Do 30.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Danke für die schnelle Antwort.
Für die Negativen [mm] a_{k} [/mm] gilt analog das gleiche, würde ich sagen also
[mm] a_k=\bruch{a_k}{1} [/mm] < [mm] \bruch{a_k}{1+a_k^2}
[/mm]
Wenn es konstant Null ist, wäre der Grenzwert ja auch 0, oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 01.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 19:15 Do 30.05.2013 | | Autor: | Hero991 |
Ist der Rest richtig? Bei der ii.) bin ich mir nämlich nicht sicher.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Sa 01.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:14 Fr 31.05.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sind die folgenden Aussagen richtig oder falsch? Geben Sie
> eine Begründung oder ein Gegenbeispiel.
>
> i.)Wenn [mm](a_{k})_{k}[/mm] nach oben nicht beschränkt ist, dann
> konvergiert [mm]\summe_{k \in \IN} \bruch{1}{a_{k}}[/mm]
> ii.) Wenn
> [mm](a_{k})k[/mm] eine alternierende Nullfolge ist, dann konvergiert
> auch [mm]\summe_{k \in \IN}[/mm] (k * [mm]a_{k})[/mm]
> iii.) Wenn [mm]\summe_{k \in \IN} a_{k}[/mm] konvergiert, dann
> konvergiert auch [mm]\summe_{k \in \IN} a^{2}_{k}[/mm]
> iv.) Wenn
> [mm]\summe_{k \in \IN} a_{k}[/mm] konvergiert, dann konvergiert auch
> [mm]\summe_{k \in \IN} \bruch{a_{k}}{1+ a^{2}_{k}}[/mm]
> Hallo,
> ich habe fast alle Aufgaben, die da oben stehen schon
> gelöst, würde aber gerne Wissen ob es richtig gemacht
> habe.
>
> i.) Gegenbeispiel: Sei die Folge [mm]a_{k}=\bruch{1}{k}
Das ist doch kein Gegenbeispiel ! Deine Folge (a_k) ist nach oben beschränkt !
> \Rightarrow[/mm]
> Die Reihe [mm]\summe_{k \in \IN} \bruch{1}{a_{k}}[/mm] Konvergiert
> nicht
>
> ii.)Gegenbeispiel: Da die Folge eine alternierende
> Nullfolge, sieht [mm]\summe_{k \in \IN}[/mm] (k * [mm]a_{k})[/mm]
> folgendermaßen aus:
> (Beispeil) 1+1/2 + 2*-1/3 + 3 *1/4 + 4 * - 1/5 ... Man
> sieht, dass der Abstand immer größer zur Null wird und
> deswegen Konvergiert die Reihe nicht.
Meinst Du [mm] a_k=(-1)^k/k [/mm] ? Wenn ja, dann ist [mm] ka_k=(-1)^k
[/mm]
>
>
> iii.) Gegenbeispiel: [mm]\summe_{k \in \IN} (-1)^{k}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}}[/mm] - Nach Leibniz Konvergiert die Reihe
> aber
> [mm]\summe_{k \in \IN} ((-1)^{k}[/mm] *
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{k}})^{2}[/mm]
Das ist O.K.
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> iv.) hab ich noch keine Idee
FRED
>
> Bei der ii.) bin ich mir nicht Sicher ob die Folge so
> richtig ist.
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