Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{7^n (n+1)!} [/mm] |
Ich habe mich mal an die aufgabe gemacht unf komme an diesem Punkt nicht weiter...Könnt Ihr mir bitte erklären was ich machen muss...
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}{7^n}(n+1)!}{{7^{n+1}}(n+2)!{n^n}}
[/mm]
Erweitern...
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}{7^n}(n+1)(n+2)!}{{7^{n}}7(n+2)!{n^n}}
[/mm]
Nach dem Kürzen entsteht...
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}(n+1)}{7 {n^n}}
[/mm]
Danach
[mm] \bruch{(n+1)^{n}(n+1)(n+1)}{7{n^n}}
[/mm]
Und jetzt
[mm] (\bruch{(n+1)^{3}}{7n})^{n}
[/mm]
Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter...Würde jetzt diesen Schritt machen aber weiss nicht ob er richtig ist...
[mm] lim_{n\to\infty}(\bruch{n(1+\bruch{1}{n}^{3})}{n (7)})^{n}
[/mm]
Daraus würde ich dann dieses Ergebnis erhalten
[mm] \bruch{e^{3}}{7}
[/mm]
Danke für eure Hilfe schonmal..
MfG [mm] DARKMAN_X
[/mm]
Diese Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo DARKMAN_X,
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{n}}{7^n (n+1)!}[/mm]
> Ich habe
> mich mal an die aufgabe gemacht unf komme an diesem Punkt
> nicht weiter...Könnt Ihr mir bitte erklären was ich
> machen muss...
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}{7^n}(n+1)!}{{7^{n+1}}(n+2)!{n^n}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Erweitern...
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}{7^n}(n+1)(n+2)!}{{7^{n}}7(n+2)!{n^n}}[/mm] ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
Wie hast du denn da erweitert?
Im Nenner: [mm](n+2)!=(n+1)!\cdot{}(n+2)[/mm]
Dann kannst du [mm](n+1)![/mm] kürzen.
Außerdem [mm]7^{n+1}=7\cdot{}7^n[/mm], da kannst du [mm]7^n[/mm] kürzen
Weiter im Zähler: [mm](n+1)^{n+1}=(n+1)\cdot{}(n+1)^n[/mm]
Letzteres packe mit dem [mm]n^n[/mm] im Nenner zusammen zu [mm]\left(\frac{n+1}{n}\right)^n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n[/mm]
Da sollte es klingeln!
Bleibt das [mm](n+1)[/mm] im Zähler, das du mit dem [mm](n+2)[/mm] aus dem Nenner zusammenpacken kannst, das strebt gegen 1
Insgesamt [mm]\frac{1}{7}\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n=\ldots[/mm]
>
> Nach dem Kürzen entsteht...
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}(n+1)}{7 {n^n}}[/mm]
Nein, eher [mm]\frac{(n+1)\red{(n+1)^n}}{7\cdot{}(n+2)\cdot{}\red{n^n}}[/mm]
Schreibe dir das nochmal ausführlich hin mit meinen Anmerkungen oben ...
>
> Danach
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n}(n+1)(n+1)}{7{n^n}}[/mm]
>
> Und jetzt
>
> [mm](\bruch{(n+1)^{3}}{7n})^{n}[/mm]
>
> Ab hier komme ich leider nicht mehr weiter...Würde jetzt
> diesen Schritt machen aber weiss nicht ob er richtig
> ist...
>
> [mm]lim_{n\to\infty}(\bruch{n(1+\bruch{1}{n}^{3})}{n (7)})^{n}[/mm]
>
> Daraus würde ich dann dieses Ergebnis erhalten
>
> [mm]\bruch{e^{3}}{7}[/mm]
>
> Danke für eure Hilfe schonmal..
>
> MfG [mm]DARKMAN_X[/mm]
>
> Diese Frage wurde in keinem anderen Forum gestellt.
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Vorab danke für deine schnelle Hilfe...
[mm] lim_{n\to\infty}(\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n (1)})^{n}*\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n (7+\bruch{14}{n})}=\bruch{1}{7}e
[/mm]
Ich hoffe ich habe das richtig verstanden :D
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Vorab danke für deine schnelle Hilfe...
>
> [mm]lim_{n\to\infty}(\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n (1)})^{n}*\bruch{n(1+\bruch{1}{n})}{n (7+\bruch{14}{n})}=\bruch{1}{7}e[/mm]
>
> Ich hoffe ich habe das richtig verstanden :D
Ja, das ist richtig.
Was schließt du nun daraus, was das konvergenzverhalten der Ausgangsreihe angeht?
>
> MfG
>
> [mm]DARKMAN_X[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:09 So 10.07.2011 | | Autor: | DARKMAN_X |
Daraus schließe ich das die Reihe konvergiert.
[mm] \bruch{1}{7}e [/mm] < q < 1
MfG
[mm] DARKMAN_X
[/mm]
|
|
|
|
