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| Aufgabe | Sei [mm] (a_{n}) \subset \IR^+\backslash \{0}. [/mm] Beweisen sie folgende Behauptungen:
a) Wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert, dann auch [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n}+1} [/mm] und [mm] \summe_{n=1}^{\infty} (\bruch{1}{a_{n}}+ \bruch{1}{a_{n+1}})^{-1}
[/mm]
b) Wenn zusätzlich [mm] (a_{n}) [/mm] monoton fallend ist, dann folgt aus der Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n}, [/mm] dass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*a_{n}=0
[/mm]
c) Wenn eine Folge [mm] (b_{n})\subset \IR^+\backslash \{0} [/mm] mit [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} \le \bruch{b_{n+1}}{b_{n}}, [/mm] für alle n [mm] \in \IN [/mm] ex., dann folgt aus der Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n} [/mm] die Konvergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] und aus der Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] die Divergenz von [mm] \summe_{n=1}^{\infty}b_{n}.
[/mm]
Hinweis: Zeigen sie: [mm] (\bruch{a_{n}}{b_{n}}) [/mm] ist monoton fallend und [mm] a_{n} \le M*b_{n} [/mm] für ein M>0 und alle n [mm] \in \IN [/mm] |
Ich bin noch mit a) beschäftigt, habe mir überlegt, dass mit dem Majorantenkriterium zu lösen, klappt aber nicht. Damit bekomme ich lediglich hin, dass [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert, wenn [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n}+1} [/mm] konvergiert. Ich überlege nun, ob ich [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] nicht doch günstig verändern kann, ohne die Konvergenz zu verletzen.
Ist dieser Ansatz sinnig oder komplett falsch?
Ich habe mir jetzt überlegt:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty}2*a_{n} [/mm] konvergiert
[mm] \Rightarrow 2*a_{n} \ge \wurzel{a_{n}^2+1} \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n}+1}
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Diese Behauptung
" Wenn $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] $ konvergiert, dann auch $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}\cdot{}a_{n}+1} [/mm] $"
ist schlicht und einfach falsch !!!
Richtig dagegen ist:
" Wenn $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] $ konvergiert, so ist $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}\cdot{}a_{n}+1} [/mm] $ divergent.
Beweis. Wenn $ [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] $ konvergiert, so ist [mm] (a_n) [/mm] eine Nullfolge. Damit gilt aber
[mm] \wurzel{a_{n}\cdot{}a_{n}+1} \to [/mm] 1 [mm] \ne [/mm] 0 für n [mm] \to \infty
[/mm]
FRED
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Ich sehe gerade, dass ich falsch abgeschrieben habe, ich bitte um Entschldigung.
Richtig soll es heißen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n+1}} [/mm] konvergiert
Kann ich nicht sagen:
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} a_{n} [/mm] konvergiert [mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0 [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend.
Also:
[mm] \wurzel{a_{n}*a_{n+1}} \le \wurzel{a_{n}*a_{n}}=a_{n} [/mm] und dann kann ich mit dem Majorantenkriterium argumentieren.
Stimmt das so?
Für die andere Reieh habe ich das ähnlich gemacht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:56 Mo 06.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
[mm] $\bruch{\wurzel{a_n*a_{n+1}}}{a_n}= \wurzel{\bruch{a_{n+1}}{a_n}}$
[/mm]
Nach dem Quotientenkriterium muß dann lim sup [mm] \wurzel{\bruch{a_{n+1}}{a_n}} \le [/mm] 1 sein
Somit gibt es ein m [mm] \in \IN [/mm] mit: [mm] \bruch{\wurzel{a_n*a_{n+1}}}{a_n} \le [/mm] 2 für n [mm] \ge [/mm] m.
FRED
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Ich grübel jetzt seit gestern, aber leider kann ich dir hier nicht folgen...
Wie kommt man denn hier auf das Quotientenkriterium? Ich verstehe den ersten Bruch schon nocht wirklich, der Zähler stimmt mit der zu untersuchenden Reihe überein, aber der Nenner, woher kommt der, aus der vorgegebenen konvergenten Reihe? Aber wieso schreibt man die dann zusammen in einen Bruch und wendet das Quotientenkriterium an? Kann man mir das bitte mal erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:04 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Erklärungen:
1. Es ist [mm] a_n \ge [/mm] 0 und [mm] \sum a_n [/mm] konvergent. Wenn nun eine weitere Folge [mm] (b_n) [/mm] gegeben ist mit [mm] b_n \ge [/mm] 0 und man soll [mm] \sum b_n [/mm] auf Konvergenz untersuchen, so kommt man manchmal mit einem "Vergleich" zum Ziel:
Stell Dir vor, Du weißt es gibt ein m in [mm] \IN [/mm] mit [mm] \bruch{b_n}{a_n} \le [/mm] 2 für n>m, so ist nach dem Maj. -kriterium die Reihe [mm] \sum b_n [/mm] konvergent
Das war meine Idee
2. Da [mm] \sum a_n [/mm] konvergent ist muß nach dem Quotientenkriterium lim sup [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_n} \le [/mm] 1 sein.
Damit ist auch lim sup [mm] \wurzel{ \bruch{a_{n+1}}{a_n} }\le [/mm] 1
FRED
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Ok. ich glaube ich bin jetzt nah dran es zu verstehen...
Die 2 ist aber doch beliebig von dir gewählt, man hätte auch jede andere Zahl >1 benutzen können, oder?
Die Idee mit der Monotonie kam mir, weil [mm] a_{n} [/mm] ja eine Nullfolge sein muss, und ich weiss aus der Aufg.stellung [mm] a_{n} [/mm] ist Teilmenge von [mm] \IR^{+}. [/mm] Muss sie dann nicht von oben gegen die Null laufen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:52 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok. ich glaube ich bin jetzt nah dran es zu verstehen...
> Die 2 ist aber doch beliebig von dir gewählt, man hätte
> auch jede andere Zahl >1 benutzen können, oder?
Ja
>
> Die Idee mit der Monotonie kam mir, weil [mm]a_{n}[/mm] ja eine
> Nullfolge sein muss, und ich weiss aus der Aufg.stellung
> [mm]a_{n}[/mm] ist Teilmenge von [mm]\IR^{+}.[/mm] Muss sie dann nicht von
> oben gegen die Null laufen?
Schon, aber monoton muß es nicht sein
FRED
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Für den ersten Teil von a) hab ich das jetzt geblickt, jetzt versuche ich das beim zweiten Teil von a). Kann man da auch wieder das Quotientenkriterium benutzen, und günstig umformen, um eine Aussage zu erhalten?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist
[mm] (\bruch{1}{a_{n}}+ \bruch{1}{a_{n+1}})^{-1} \le a_n
[/mm]
einfach nachrechnen !!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:28 Di 07.12.2010 | | Autor: | Big_Head78 |
Ah gut, so hatte ich das zuerst versucht und bekam das auch raus.
Danke!
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Jetzt sitze ich vor b) und habe mir überlegt:
[mm] a_{n} [/mm] muss eine Nullfolge sein, sie ist monoton fallend (steht so in der Aufg.).
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}n*a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}n [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= +\infty [/mm] * 0=0
scheint mir aber irgendwie zu einfach.
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Hallo,
> Jetzt sitze ich vor b) und habe mir überlegt:
>
> [mm]a_{n}[/mm] muss eine Nullfolge sein, sie ist monoton fallend
> (steht so in der Aufg.).
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}n*a_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}n[/mm] * [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}= [/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist eine Vergewaltigung der Rechenregeln für den Limes
Das gilt doch in umgekehrter Richtung!
Wenn du 2 Folgen [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] hast, die gegen [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm] konvergieren, dann konvergiert die Folge [mm](a_n\cdot{}b_n)[/mm] gegen [mm]a\cdot{}b[/mm]
> [mm] =+\infty* 0=0[/mm]
Wieso sollte [mm]0\cdot{}\infty=0[/mm] sein?
>
> scheint mir aber irgendwie zu einfach.
Vor allem zu falsch!
Überlege dir etwas anderes ...
Gruß
schachuzipus
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Gut, mein neuer Ansatz:
Annahme: es gibt eine Gw c>0
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}=c>0
[/mm]
[mm] \Rightarrow n*a_{n}>0 [/mm] für [mm] n>n_{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow a_{n}> \bruch{c}{n} [/mm] für [mm] n>n_{0}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \summe_{n>n_{0}}^{}a_{n} [/mm] ist divergente Minorante, und das ist ein Widerspruch zu [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_{n} [/mm] ist konvergent
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:09 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Und was machst Du, wenn [mm] (n*a_n) [/mm] überhaupt keine Grenzwert hat ?
FRED
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Ich habe mir überlegt, dass ich mit dem Cauchy-Kriterium zeige, dass es einen GW gibt, also die Folge konvergent ist:
sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] und m>n und [mm] \varepsilon'=\bruch{\varepsilon}{n} \Rightarrow \varepsilon' \le \varepsilon
[/mm]
[mm] |n*a_{n}-m*a_{m}|=n*a_{n}-m*a_{m} \le n*a_{n}-n*a_{m}= [/mm]
n* [mm] \underbrace{(a_{n}-a_{m})}_{\le \varepsilon'}\le n*\varepsilon'= \varepsilon
[/mm]
Dann habe ich doch gezeigt, dass es einen GW gibt, oder? Und dann kann ich doch wie oben den Beweis führen,oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe mir überlegt, dass ich mit dem Cauchy-Kriterium
> zeige, dass es einen GW gibt, also die Folge konvergent
> ist:
>
> sei [mm]\varepsilon>0[/mm] und m>n und
> [mm]\varepsilon'=\bruch{\varepsilon}{n} \Rightarrow \varepsilon' \le \varepsilon[/mm]
Nee, so geht das nicht. Keine Abhängigkeit von n !!!!
FRED
>
> [mm]|n*a_{n}-m*a_{m}|=n*a_{n}-m*a_{m} \le n*a_{n}-n*a_{m}=[/mm]
> n* [mm]\underbrace{(a_{n}-a_{m})}_{\le \varepsilon'}\le n*\varepsilon'= \varepsilon[/mm]
>
> Dann habe ich doch gezeigt, dass es einen GW gibt, oder?
> Und dann kann ich doch wie oben den Beweis führen,oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:57 Mi 08.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Der Beweis ist nicht einfach, daher:
https://matheraum.de/forum/Konvergenzverhalten/t722454
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Di 07.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ich sehe gerade, dass ich falsch abgeschrieben habe, ich
> bitte um Entschldigung.
>
> Richtig soll es heißen:
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergiert [mm]\Rightarrow \summe_{n=1}^{\infty} \wurzel{a_{n}*a_{n+1}}[/mm]
> konvergiert
>
> Kann ich nicht sagen:
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} a_{n}[/mm] konvergiert [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}=0[/mm]
> und [mm]a_{n}[/mm] monoton fallend.
Warum sollte [mm] (a_n) [/mm] monoton sein ????
FRED
>
> Also:
> [mm]\wurzel{a_{n}*a_{n+1}} \le \wurzel{a_{n}*a_{n}}=a_{n}[/mm] und
> dann kann ich mit dem Majorantenkriterium argumentieren.
>
> Stimmt das so?
> Für die andere Reieh habe ich das ähnlich gemacht.
>
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