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Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:20 So 03.01.2010
Autor: Ayame

Aufgabe
Konvergiert diese reihe : [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}} [/mm]

Also ich hab erst mal den bruch erweitert. Also zähler und nenner quadriert.
Und dann das Quotientenkriterium benutzt.

Mein Endergebnis ist : [mm] \bruch{2k^{6}-12k^{5}+18k^{4}+k^{2}-6k+9}{2k^{6}-8k^{5}-16k^{4}+40k^{3}+131k^{2}+104k+48} [/mm]

Nur ist das kleiner 1 ??
Der gleiche NennerZählerGrad verunsichert mich hier etwas.

        
Bezug
Reihen: Querverweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:24 So 03.01.2010
Autor: Loddar

Hallo Ayame!


Siehe mal hier; da wurde vor kurzem dieselbe Aufgabe behandelt.


Gruß
Loddar


Bezug
        
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Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:32 So 03.01.2010
Autor: Stefan-auchLotti

Hi,

> Konvergiert diese reihe : [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}}[/mm]
>  
> Also ich hab erst mal den bruch erweitert. Also zähler und
> nenner quadriert.

Was nun: hast du erweitert, oder einfach Zähler und Nenner getrennt quadriert? Das wäre nämlich keine Erweiterung, sondern falsch.

>  Und dann das Quotientenkriterium benutzt.
>  
> Mein Endergebnis ist :
> [mm]\bruch{2k^{6}-12k^{5}+18k^{4}+k^{2}-6k+9}{2k^{6}-8k^{5}-16k^{4}+40k^{3}+131k^{2}+104k+48}[/mm]
>  
> Nur ist das kleiner 1 ??
> Der gleiche NennerZählerGrad verunsichert mich hier etwas.

Zurecht. Der GW ist 1 wegen demselben Zähler-Nenner-Grad und somit das QK nicht aussagekräftig. Welche Kriterien kennst du noch? Probier es mit dem ein oder anderen mal aus.

Gruß, Stefan.


Bezug
                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:50 So 03.01.2010
Autor: Ayame

Kann ich es enn mit dem Wurzelkriterium machen ?

Also : [mm] \wurzel{\bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}}} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{k}-2}{\wurzel{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}}} \le \bruch{\wurzel{k}-2}{\wurzel{k^{2}+k^{2}}} [/mm] < 1

somit hätte ich die konvergenz bewiesen. ist das so richtig ?

Bezug
                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:52 So 03.01.2010
Autor: Stefan-auchLotti

[notok]

Du musst die $k$-te Wurzel ziehen! Hier muss mit dem Minorantenkriterium gearbeitet werden.

Bezug
                                
Bezug
Reihen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:21 So 03.01.2010
Autor: Ayame

ich brauch ja eine reihe die größer ist als meine aber konvergiert.

[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}} \le [/mm] Folge die konvergiert

Erst dachte ich an [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^{2}} [/mm] aber meine reihe ist größer also diese.

ich komm einfach nicht auf eine geeignete majorante

Bezug
                                        
Bezug
Reihen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:10 So 03.01.2010
Autor: rainerS

Hallo!

> ich brauch ja eine reihe die größer ist als meine aber
> konvergiert.
>  
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}} \le[/mm]
> Folge die konvergiert

Ja, für eine Majorante brauchst du Reihe [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} a_k$ [/mm] mit

[mm] \bruch{(\wurzel{k}-2)^{2}}{k^{2}+\wurzel{k^{4}+1}} \le a_k [/mm]

Da die linke Seite ein Bruch ist, kannst du mal versuchen, den Zähler durch etwas größeres zu ersetzen und den Nenner durch etwas kleineres. Also: was wäre ein einfacherer Ausdruck als [mm] $(\wurzel{k}-2)^{2}$, [/mm] der [mm] $\ge(\wurzel{k}-2)^{2}$ [/mm] ist?

Noch ein Tipp: [mm] $\wurzel{k^{4}+1} [/mm] > [mm] k^2$. [/mm]

Viele Grüße
   Rainer

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