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| Aufgabe | Sind folgende Reihen konvergent oder divergent?
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{i+1} [/mm] |
Ich hab mich letztes Semester schon damit rumgeärgert und es einfach nie wirklich verstanden. Würde die Klausur aber dieses Semester gerne bestehen...
Mein Problem sind Reihen und es zu zeigen das diese Konvergent bzw. Divergent sind bzw. deren Summen zu berechnen. Mit Folgen etc. hab ich überhaupt keine Probleme da klappt das auch alles!
Vom Prinzip habe ich das ganze denke ich schon Verstanden.
Ich versuchs jetzt einfahc mal an einem Beispiel hier, vielleicht machts ja klick bei mir...
Um die konvergenz hier zu zeigen muss ich doch den Term "geschickt" so zerteilen das 2 daraus werden welche ich voneinander abziehe, also das ganze in Teilsummen zerlegen?
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i}{i+1}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i+1-1}{i+1}
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{i+1}{i+1}-\summe_{i=1}^{n}\bruch{1}{i+1}
[/mm]
ist das bis an diese Stelle richtig?
lg
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Hallo Marry!
Als notwendiges Krierium für die Konvergenz einer Reihe [mm] $\summe_{n}a_n$ [/mm] gilt, dass [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge sein muss.
Ist [mm] $a_n$ [/mm] keine Nullfolge, so folgt daraus unmittelbar die Divergenz der Reihe [mm] $\summe_{n}a_n$ [/mm] .
Ist also hier [mm] $a_n$ [/mm] eine Nullfolge?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:07 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Marry2605 |
Ok, also eine Nullfolge is eine Folge die gegen Null konvergiert...
Dies tut [mm] \bruch{i}{i+1} [/mm] nicht . Diese geht gegen 1 -> Also ist sie divergent?
War wohl dann ein schlechtes Beispiel :)
Schlag du mir mal ein einfaches Beispiel vor und ich versuchs zu rechen...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:00 Mo 10.11.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Marry!
Im Ausdenken bin ich nicht so gut.  Aber suche Dir doch mal hier in diesem Unterforum einige Aufgaben aus. Da findest Du garantiert auch welche mit Lösung und Erklärung.
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, ich hab mir jetzt mal zu den einzelnen Kriterien die wir gemacht haben Beispiele gesucht. Hier mal das Quotientenkriterium
Quotientenkriterium:
Mal im klartext wie ich das verstanden hab : Als Beispiel nehme ich mal die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{n}\bruch{2n}{n²}
[/mm]
Wenn jetzt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{an+1}{an} [/mm] < 1 ->Konvergent bzw. > 1 -> Divergent
Doch was tue ich jetzt? Rechne ich das jetzt einfach aus?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Mo 10.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Ok, ich hab mir jetzt mal zu den einzelnen Kriterien die
> wir gemacht haben Beispiele gesucht. Hier mal das
> Quotientenkriterium
>
> Quotientenkriterium:
> Mal im klartext wie ich das verstanden hab : Als Beispiel
> nehme ich mal die Reihe
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{2n}{n²}[/mm]
Besser: [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{2i}{i^2}[/mm]
Beachte: [mm] \bruch{2i}{i^2} [/mm] = [mm] \bruch{2}{i}
[/mm]
Sagt Dir das etwas ?
FRED
>
> Wenn jetzt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{an+1}{an}[/mm] < 1
> ->Konvergent bzw. > 1 -> Divergent
>
> Doch was tue ich jetzt? Rechne ich das jetzt einfach aus?
Dann rechne mal den Grenzwert aus. Es kommt 1 heraus. Welche Information hast Du dann ?
Richtig : keine !
FRED
>
> lg
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> > Ok, ich hab mir jetzt mal zu den einzelnen Kriterien die
> > wir gemacht haben Beispiele gesucht. Hier mal das
> > Quotientenkriterium
> >
> > Quotientenkriterium:
> > Mal im klartext wie ich das verstanden hab : Als
> Beispiel
> > nehme ich mal die Reihe
> > [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{2n}{n²}[/mm]
>
>
>
> Besser: [mm]\summe_{i=1}^{n}\bruch{2i}{i^2}[/mm]
>
> Beachte: [mm]\bruch{2i}{i^2}[/mm] = [mm]\bruch{2}{i}[/mm]
>
> Sagt Dir das etwas ?
Ich würde mal sagen das ist die harmonische Reihe welche ja divergent ist!
Also Majorantenkriterium und damit abschätzen?
>
>
>
>
>
> >
> > Wenn jetzt [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{an+1}{an}[/mm] < 1
> > ->Konvergent bzw. > 1 -> Divergent
> >
> > Doch was tue ich jetzt? Rechne ich das jetzt einfach aus?
>
>
> Dann rechne mal den Grenzwert aus. Es kommt 1 heraus.
> Welche Information hast Du dann ?
>
> Richtig : keine !
Ok, das hab ich versucht, haste wohl recht damit.
Dann frag ich einfach mal anders, wie geh ich dann am besten an solche Aufgaben ran?
Ich poste jettz einfach mal das Übungsblatt zu den Reihen. Wäre toll wenn mir jmd helfen könnte da irgendwie auf den richtigen weg zu kommen.
http://www.fh-kl.de/~hettel/MatheII/Blatt4.pdf
Bevor das jetzt falsch rüberkommt, ich will keine Lösung zu dem Blatt, es hilft aber viell. euch einschätzen zu können was ich gerne können würde...
Lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:54 Mi 12.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Ist jetzt ja ein bisschen Zeit vergangen und ich bin immer noch nicht so wirklich drauf gekommen wie das hier geht :)
Das hier ist unser Übungsblatt. Solche Aufgaben würde ich gerne Lösen können, wäre wohl auch wichtig für die Klausur :(
http://www.fh-kl.de/~hettel/MatheII/Blatt4.pdf
Wäre nett wenn mir vielleicht jemand einen schubs in die richtige Richtung geben könnte.
Wie gehe ich also am besten an Aufgaben ran wo ich zeigen soll das eine Reihe konvergiert bzw. divergiert?? Mir fehlt einfach der Ansatz, ich seh die Aufgabe und weis nicht wie ich sie angehe?
Ich fange jetzt einfach mal an.
Einfach mal die Aufgabe :
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{7}{n^2+3n+2}
[/mm]
Kann ich auch schreiben als:
7* [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2+3n+2}
[/mm]
Wenn ich jetzt zeigen will das diese Reihe konvergent ist muss ich laut Majorantenkriterium eine andere Reihe finden welche für alle Summanden kleiner ist als die Reihe die ich Untersuche.
Hierfür nehme ich die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{n^2} [/mm] von welcher ich weis das sie konvergent ist!
Sehe ich das richtig??
Ein weiteres Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{k(k+2)}
[/mm]
Das schreibe ich dann als
2* [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2+2k}
[/mm]
Also Majorante nehme ich jetzt Folgende Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm]
von welcher ich ja weiss das sie konvergent ist.
Damit habe ich doch gezeigt das
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{2}{k(k+2)}
[/mm]
konvergiert? oder?
Lg
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Ich habe jetzt mal weitergemacht und mich an den Summen von Reihen versucht :
Für
[mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)}
[/mm]
erhalte ich durch Umformen des Terms zu
[mm] \bruch{1+n}{n(n+1)} [/mm] - [mm] \bruch{n}{n(n+1)}
[/mm]
Als Grenzwert 1!
Habe jetzt eine weitere Aufgabe :
[mm] \summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(n-1)}
[/mm]
Wobei ich mir nicht sicher bin ob meiner zerlegung hier richtig ist :
[mm] \bruch{n}{n(n-1)} [/mm] - [mm] \bruch{n-1}{n(n-1)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n-1} [/mm] - [mm] \bruch{1}{n}
[/mm]
Gibts eine Möglichkeit solche Aufgaben mit irgendeinem Programm zu berechnen?
Lg
Marry
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Hallo Maria,
> Ich habe jetzt mal weitergemacht und mich an den Summen von
> Reihen versucht :
> Für
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{1}{n(n+1)}[/mm]
> erhalte ich durch
> Umformen des Terms zu
> [mm]\bruch{1+n}{n(n+1)}[/mm] - [mm]\bruch{n}{n(n+1)}[/mm]
eher mit Partialbruchzerlegung: [mm] $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}=...=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
[/mm]
>
> Als Grenzwert 1! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
ich sehe zwar nicht, wie du mit deiner obigen "Zerlegung" auf 1 gekommen bist, aber stimmen tut's
>
> Habe jetzt eine weitere Aufgabe :
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty} \bruch{1}{n(n-1)}[/mm]
> Wobei ich mir
> nicht sicher bin ob meiner zerlegung hier richtig ist :
> [mm]\bruch{n}{n(n-1)}[/mm] - [mm]\bruch{n-1}{n(n-1)}[/mm] = [mm]\bruch{1}{n-1}[/mm] - [mm]\bruch{1}{n}[/mm]
>
> Gibts eine Möglichkeit solche Aufgaben mit irgendeinem
> Programm zu berechnen?
Dazu kannst du zB DERIVE benutzen, aber diese CAS spucken nur den GW aus, nicht den Rechenweg; hier ist es aber über die Partialbruchzerlegungen und die Grenzwertbestimmung der entstehenden Partialsummenfolge einfach, da es allesamt sehr nette Teleskopsummen sind, in denen sich fast alles weghebt:
Bei der (b):
Bedenke, dass [mm] $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}=\lim\limits_{k\to\infty}\blue{\sum\limits_{n=2}^{k}\frac{1}{n(n-1)}}=\lim\limits_{k\to\infty}\blue{S_k}$ [/mm] ist
Mache also einen Partialbruchzerlegungsansatz: [mm] $\frac{1}{n(n-1)}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n-1}=...=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$
[/mm]
Damit kannst du deine Reihe schreiben als [mm] $\sum\limits_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n(n-1)}=\sum\limits_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Nun betrachten wir eine k-te Partialsumme [mm] $S_k=\sum\limits_{n=2}^{k}\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)$
[/mm]
Schreiben wir das aus: [mm] $=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+....+\left(\frac{1}{k-2}+\frac{1}{k-1}\right)+\left(\frac{1}{k-1}-\frac{1}{k}\right)$
[/mm]
[mm] $=1-\frac{1}{k}$
[/mm]
Davon betrachten wir den [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}$
[/mm]
Das ist $1-0=1$, also ist der GW deiner Ausgangsreihe auch in (b) $=1$
>
> Lg
> Marry
>
Gruß
schachuzipus
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So langsam komme ich dahinter wie das alles geht 
Ich hab jetzt mal folgendes gerechnet :
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{3}{4^n}
[/mm]
Das schreibe ich dann um zu
3 * [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{4^n}
[/mm]
Das ist dann wiederum :
[mm] \bruch{\bruch{1}{4}}{1-\bruch{1}{4}}
[/mm]
Wobei ich dann hier auf 1 komme!
Was muss ich jetzt aber tun wenn sich der index der Summe von z.b. 1 auf 2 erhöht?
Lg
marry
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Hallo Maria,
> So langsam komme ich dahinter wie das alles geht
Das klingt gut!
>
> Ich hab jetzt mal folgendes gerechnet :
> [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{3}{4^n}[/mm]
> Das schreibe ich
> dann um zu
> 3 * [mm]\summe_{i=1}^{\infty} \bruch{1}{4^n}[/mm]
> Das ist dann
> wiederum :
>
> [mm]\bruch{\bruch{1}{4}}{1-\bruch{1}{4}}[/mm]
>
> Wobei ich dann hier auf 1 komme!
Wenn du den Laufindex der Reihe mal von i auf n änderst, bin ich einverstanden, anbsonsten läuft die Reihe gegen [mm] \infty [/mm] davon!
>
> Was muss ich jetzt aber tun wenn sich der index der Summe
> von z.b. 1 auf 2 erhöht?
Dann ändert sich der (Grenz-)Wert der geometrischen Reihe.
Du weißt, dass [mm] $\sum\limits^{\infty}_{\red{n=0}}\left(\frac{1}{4}\right)^n=\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}$ [/mm] ist.
Wenn du den Laufindex der Reihe von 0 auf k erhöhst, musst du entsprechend die Summanden [mm] $\left(\frac{1}{4}\right)^0, \left(\frac{1}{4}\right)^1, \left(\frac{1}{4}\right)^2, [/mm] ..., [mm] \left(\frac{1}{4}\right)^{k-1}$ [/mm] von diesem GW abziehen.
zB. wie in der Aufgabe: [mm] $\sum\limits^{\infty}_{\red{n=1}}\left(\frac{1}{4}\right)^n=\left[\sum\limits^{\infty}_{\red{n=0}}\left(\frac{1}{4}\right)^n\right] [/mm] \ - [mm] \left(\frac{1}{4}\right)^0=\frac{4}{3}-1=\frac{1}{3}$
[/mm]
Erhöhen wir den Laufindex auf n=3, dann ist
[mm] $\sum\limits^{\infty}_{\red{n=3}}\left(\frac{1}{4}\right)^n=\left[\sum\limits^{\infty}_{\red{n=0}}\left(\frac{1}{4}\right)^n\right]-\left(\frac{1}{4}\right)^0-\left(\frac{1}{4}\right)^1-\left(\frac{1}{4}\right)^2=...$
[/mm]
selber ausrechnen
>
> Lg
> marry
>
Gruß
schachuzipus
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Ok, das ist ja wirklich einfach :)
Hab das mit ein paar Aufgaben probiert und die Ergebnisse mit Maxima überprüft, das klappt :)
Jetzt hätt ich aber noch eine Frage...
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{5})^k
[/mm]
Wenn ich hier die Summe berechne komme ich ja recht einfach über die geometrische Reihe auf [mm] \bruch{1}{4} [/mm] ...
Dieses Ergebnis spuckt mir auch mein maxima aus wenn ich die Summe dieser Reihe berechne.
Wir gehen jetzt mal von dieser Aufgabe aus :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{5})^{k+2}
[/mm]
Ich hätte das jetzt genauso gemacht wie eben über die geometrische Reihe...Doch mein Maxima meint die Reihe wäre divergent?
Hilft mir bitte grad mal jemand auf die Sprünge? :(
Lg
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Hallo Maria,
> Ok, das ist ja wirklich einfach :)
> Hab das mit ein paar Aufgaben probiert und die Ergebnisse
> mit Maxima überprüft, das klappt :)
>
> Jetzt hätt ich aber noch eine Frage...
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{5})^k[/mm]
> Wenn ich hier die
> Summe berechne komme ich ja recht einfach über die
> geometrische Reihe auf [mm]\bruch{1}{4}[/mm] ...
> Dieses Ergebnis spuckt mir auch mein maxima aus wenn ich
> die Summe dieser Reihe berechne.
>
> Wir gehen jetzt mal von dieser Aufgabe aus :
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{5})^{k+2}[/mm]
> Ich hätte das
> jetzt genauso gemacht wie eben über die geometrische
> Reihe...Doch mein Maxima meint die Reihe wäre divergent?
Dann irrt sich Maxima oder du hast irgendwas falsch eingetippt.
Es ist ja [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{k+2}=\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{k}\cdot{}\left(\frac{1}{5}\right)^2=\frac{1}{25}\cdot{}\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{k}=\frac{1}{25}\cdot{}\frac{1}{4}=\frac{1}{100}$
[/mm]
Also mitnichten divergent
>
> Hilft mir bitte grad mal jemand auf die Sprünge? :(
>
> Lg
Gruß
schachuzipus
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Genau darauf bin ich auch gekommen
Habe auch den eingabefehler dabei entdeckt!
Wenn ich jetzt z.b. folgende Reihe mit Maxima berechnen will
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*(k+2)}
[/mm]
Bin ich in Maxima auf "Summe berechnen gegangen, habe die Werte eingegeben und bin auf folgendes gekommen :
sum(1/(k*(k+2)), k, 1, inf);
Er berechnet mir nun aber nicht die Summe sondern schreibt einfach das ganze so :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*(k+2)}
[/mm]
hin ....
Lg
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Hallo Marry2605,
> Genau darauf bin ich auch gekommen
>
> Habe auch den eingabefehler dabei entdeckt!
> Wenn ich jetzt z.b. folgende Reihe mit Maxima berechnen
> will
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*(k+2)}[/mm]
> Bin ich in
> Maxima auf "Summe berechnen gegangen, habe die Werte
> eingegeben und bin auf folgendes gekommen :
> sum(1/(k*(k+2)), k, 1, inf);
>
> Er berechnet mir nun aber nicht die Summe sondern schreibt
> einfach das ganze so :
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*(k+2)}[/mm]
> hin ....
Versuche mal Maxima dazu zu bringen, die Summe anders darstellen zu lassen.
Die Summe anders darstellen, kannst Du Dir auch selbst herleiten.
Es gilt:
[mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k*(k+2)}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{A}{k}+\bruch{B}{k+2}[/mm]
Daraus ergibt sich dann:
[mm]\bruch{1}{k*\left(k+2\right)}=\bruch{A}{k}+\bruch{B}{k+2}[/mm]
Nun sind die unbekannten Koeeffizienten A und B zu ermitteln.
Diese setzt Du dann in die Summenformel ein, und dann kannst Du die Summe angeben.
>
> Lg
>
Gruß
MathePower
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Deiner Reihe, mit welcher Du vergleichst (die Majorante), muss größer sein.
