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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:37 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Hallo Leute habe wiedermal eine Aufgabe bei der ich absolut nicht weiss wie ich vorgehen muss, wäre sehr erfreut über eine Schritt für Schritt Erklärung, die Aufgabe muss ohne Taschenrechner gelöst werden.
Von 4000 t Uran, die zu Beginn eines Jahres in einem Bergwerk lagern will man im 1. Jahr 500 t abbauen, in den folgenden Jahren jeweils p% weniger als im Vorjahr.
a) Wie groß darf p höchstens sein, damit die Vorräte in endlicher Zeit abgebaut sein werden?
b) Nach wie vielen Jahren ist das Uranvorkommen erschöpft, falls p=10 gilt?
(Verwenden Sie die Näherungen ln2 [mm] \approx [/mm] 0,7; ln9 [mm] \approx [/mm] 2,2;
ln10 [mm] \approx [/mm] 2,3 )
Die Lösung bei a) ist p < 12,5
b) n=16
Aber mir fehlen leider die Rechenschritte
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:24 Fr 04.02.2005 | | Autor: | Max |
Hi Zizou,
ich würde erstmal den Term aufstellen um die Reihe zu finden:
Die Restmenge Uran nach $n$ Jahren sei $r(n)$, dann gilt:
$r(n)=4000 - 500q - [mm] 500q^2 [/mm] - [mm] \cdots [/mm] - [mm] 500q^n=4000 [/mm] - 500 [mm] \sum_{k=1}^{n} q^n$
[/mm]
Dabei ist $q$ der Wachstumsfaktor, d.h. hier $(1-p)$.
Jetzt musst du  nur noch mit den Formel für die geometrische Reihe arbeiten. Meinst du du bekommst das hin?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:27 Sa 05.02.2005 | | Autor: | Zizou |
Danke Brackhaus für deine Erläuterungen aber verstehe leider nicht habe mir auch die Formel für geometrische Reihen angeschaut aber schlauer bin ich leider nicht geworden kommst du mit deiner rechnung auf meine Lösungen die ich gepostet habe?
Könntest du mir bitte die Rechenschritte reinposten weil ich das dringend brauche , Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:40 So 06.02.2005 | | Autor: | Max |
Also es gilt ja
[mm] $\sum_{k=0}^{n} q^k [/mm] = [mm] \frac{1-q^{n+1}}{1-q}$
[/mm]
Wie groß wäre $q$, wenn man doch unendlich lange brauchen würde um das Uran abzubauen? Also, wie ist $q$, wenn erst $r(n)=0$ für [mm] $n\to \infty$?
[/mm]
Für [mm] $n\to \infty$ [/mm] gilt [mm] $\sum_{k=0}^{\infty} q^k [/mm] = [mm] \frac{1}{1-q}$, [/mm] da $q<1$ und [mm] $q^{n+1}$ [/mm] damit eine Nullfolge ist.
Also
$0 = 4000 - 500 [mm] \frac{1}{1-q}$
[/mm]
$4000 = 500 [mm] \frac{1}{1-q}$
[/mm]
$1-q = [mm] \frac{1}{8}$
[/mm]
$q = [mm] \frac{7}{8}$
[/mm]
Wegen [mm] $q=1-p=\frac{7}{8}$ [/mm] gilt [mm] $p=\frac{1}{8}=0,125=12,5\%$.
[/mm]
Gilt also [mm] $p=10\%=0,1$ [/mm] ist $q=0,9$ und damit:
[mm] $R(n)=4000-500\cdot \frac{1-0,9^{n+1}}{0,1}$
[/mm]
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