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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Mi 09.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | Man zeige (mit Quotientenkriterium), dass [mm] \summe_{n\ge 0}^{} \vektor{2n \\ n} x^n [/mm] für alle x mit |x| < [mm] \bruch{1}{4} [/mm] konvergiert und für alle x mit |x| > [mm] \bruch{1}{4} [/mm] divergiert.
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Also mein Ansatz:
[mm] \vektor{2n \\ n} [/mm] = [mm] \bruch{2n!}{n!(2n-n!)}=\bruch{2n!}{n!(n!)}
[/mm]
Dann setze ich in das Quotientenkriterium ein:
[mm] \bruch{\bruch{2(n+1)!*x^n^+^1}{(n+1)!*(n+1)!}}{\bruch{2n!*x^n}{n!*n!}}
[/mm]
nach Auflösung des Doppelbruches ergibt sich:
[mm] \bruch{2(n+1)!*x^n^+^1*n!*n!}{(n+1)!*(n+1)!*2n!*x^n}=
[/mm]
[mm] \bruch{2n!(n+1)*x*n!*n!}{n!(n+1)*n!(n+1)*2n!}
[/mm]
[mm] \bruch{x}{n+1}
[/mm]
übrigbleiben
Meine Fragen:
1. Stimmt das überhaupt was ich bis jetzt getan hab?
2. und wenn ja, wie gehts weiter?
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Hallo Barbara,
deine Idee ist schon richtig, aber du hast leider falsch angesetzt.
Es ist doch [mm] $\vektor{2n\\n}=\frac{\red{(}2n\red{)}!}{n!(2n-n)!}=\frac{(2n)!}{(n!)^2}\neq\frac{2n!}{(n!)^2}$ [/mm] !!!
Damit berechne [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
Bedenke: $(2(n+1))!=(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!$...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Mi 09.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
ok auf ein neues
dh
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{(2(n+1))!*x^n^+^1}{(n+1)!*(n+1)!}}{\bruch{(2n)!*x^n}{n!n!}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2(n+1)!*x*x^n*n!*n!}{n!(n+1)*n!(n+1)*(2n)!*x^n}
[/mm]
= [mm] \bruch{(2n+2)!*x}{(n+1)^2(2n)!}
[/mm]
Passt das jetzt so? Kann ich den Ausdruck weiter vereinfachen?
Wie zeige ich, dass für alle |x| < [mm] \bruch{1}{4} [/mm] die Reihe konvergiert und für alle |x| > [mm] \bruch{1}{4} [/mm] divergiert?
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Hallo!
Du kannst ja einfach den Konvergenzradius der Potenzreihe berechnen da müsste dann [mm] \bruch{1}{4} [/mm] herauskommen und somit hast du dann gezeigt dass für [mm] x<\bruch{1}{4} [/mm] die Reihe konvergiert und für [mm] x>\bruch{1}{4} [/mm] ist die Potenzreihe divergent Für [mm] x=\bruch{1}{4} [/mm] musst du dann gesondert betrachten.
Tatsächlich habe ich die Aufgabe gestern auch gerechnet und mich wie geöhnlich verrechnet.
Schau mal hier
Ich hoffe ich konnte dir helfen  Ansonsten nochmal nachfragen.
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]") Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mi 09.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
danke für die antwort
eine frage: warum wird das [mm] x^n [/mm] neben dem [mm] \summe_{n>0}^{} \vektor{2n \\ n} [/mm] weggelassen beim einsetzen in das Quotientenkriterium!
Dann würde ich eben rausbekommen
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{(2n+2)!}{(n+1)!*(2n)!}
[/mm]
Wie kann ich aus Ausdrücken mit Faktoriellen am leichtesten den Grenzwert ablesen?
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Hallo Barbara,
bei Potenzreihen, also Reihen vom Typ [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cdot{}x^n [/mm] \ \ [mm] (\star)$ [/mm] oder allgemeiner [mm] $\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_n\cdot{}(x-x_0)^n [/mm] \ \ [mm] (\star\star)$ [/mm] gibt's eigene Konvergenzkriterien, die sich aus dem Wurzel- bzw. Quotientenkriterium für "normale" Reihen herleiten.
Zum einen das mit dem QK verwandte Euler-Kriterium:
Berechne [mm] $R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
[/mm]
Dann ist der Konvergenzradius [mm] $r:=\frac{1}{R}$, [/mm] wobei [mm] $\frac{1}{0}=\infty$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{\infty}=0$ [/mm] festgelegt ist
Die Potenzreihe [mm] $(\star)$ [/mm] konvergiert für $|x|<r$ bzw. die Potenzreihe [mm] $(\star\star)$ [/mm] für [mm] $|x-x_0|r$
[/mm]
Für $|x|=r$, also [mm] $x=\pm [/mm] r$ und analog im allg. Fall musst du mit den üblichen Konvergenzriterien ran
Zum anderen das Kriterium von Cauchy-Hadamard, das dem Wurzelkriterium ähnelt...
Bei diesen wird das [mm] "x^n" [/mm] weggelassen
Du kannst aber auch das QK "in seiner Reinform" benutzen.
Dazu setze [mm] $a_n:=\vektor{2n\\n}x^n$
[/mm]
Dann ist [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\vektor{2(n+1)\\n+1}x^{n+1}}{\vektor{2n\\n}x^n}\right|=\frac{\vektor{2(n+1)\\n+1}|x|^{n+1}}{\vektor{2n\\n}|x|^n}=|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}\left[\frac{(2n+2)!}{[(n+1)!]^2}\cdot{}\frac{(n!)^2}{(2n)!}\right]$
[/mm]
Wie du das weiter berechnest mit den Fakultäten, habe ich oben schon geschrieben:
Es ist $(2n+2)!=(2n+2)(2n+1)(2n)!$ Dann kannst du kürzen
Für den anderen Term benutze einfache Potenzgesetze:
[mm] $\frac{(n!)^2}{[(n+1)!]^2}=\left(\frac{n!}{(n+1)!}\right)^2=\left(\frac{n!}{(n+1)\cdot{}n!}\right)^2=\frac{1}{(n+1)^2}$
[/mm]
Das nun zusammenmodeln und den [mm] $\lim\limits_{n\to\infty}$ [/mm] davon bilden
Da sollte dann sowas wie [mm] $|x|\cdot{}\lim\limits_{n\to\infty}(....)=|x|\cdot{}4$ [/mm] herauskommen
Das muss für Konvergenz gem. QK <1 sein, also [mm] $|x|\cdot{} 4<1\Rightarrow |x|<\frac{1}{4}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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