Reihen < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:42 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
hätte ne frage zu folgenden beispiel:
[Dateianhang nicht öffentlich]
hab da leider irgend wie keinen plan wie ich das angehen soll, weil mit dem quotientenkriterium kann ich da ja nicht wirklich was vereinfachen.
danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:14 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Kroni |
Hi,
auf den ersten Blick würde ich dir das Wurzelkriterium vorschlagen.
LG
Kroni
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:40 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
das wurzelkriterium wäre ja: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}
[/mm]
nur wie wende ich das da jetzt an? hab ja das ^n*(n+1) bzw weis ich nicht wie sich das vereinfachen sollte, oder muss ich da irgendwas annehmen?
danke!
|
|
|
| |
|
> hallo!
>
> das wurzelkriterium wäre ja:
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\wurzel[n]{a_n}[/mm]
Hallo,
Du hast das Kriterium etwas arg verkürzt formuliert...
So, wie Du es dastehen hast, ist es gewiß kein Kriterium.
Aber ich ahne, was Du meinst.
>
> nur wie wende ich das da jetzt an? hab ja das ^n*(n+1) bzw
> weis ich nicht wie sich das vereinfachen sollte,
Oh weh! Die Potenzgesetze solltest Du schon kennen, Du hast die Schulzeit doch hinter Dir, oder?
Also: [mm] b^{xy}= (b^x)^y= (b^y)^x
[/mm]
Damit kommst Du ein Stückchen weiter, es bleibt allerdings das Problem, dann den Grenzwert zu bestimmen.
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:54 Sa 08.12.2007 | | Autor: | Dagobert |
hallo!
nö das weiß ich schon noch, aber ich meine wie es hier am günstigsten ist es anzugehen. solle man vorher alles ausmultiplizieren und dann den grenzwert betrachten oder gleich so das kriterium anwenden?
weil wenn ich das mal anders anschreibe hab ich ja:
[mm] [(n^2+2n+1)^n^2+n]/(n+2)^n^2+n
[/mm]
nur weiß nicht wie ich da weiter machen soll? .... =(
danke
|
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dagobert,
zunächst schreibe doch mal genau das Kriterium auf:
zu bestimmen ist $\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\left|a_n\right|}$
Das muss ein festes q ergeben mit $q<1$
Dann wäre die Reihe konvergent:
Die ganze Rechnung ist wirklich nur ein Herumspielen mit den Potenzgesetzen und "das Hinbasteln" bekannter Sachen 
Fang so an:
Schreibe $\left(\frac{(n+1)^2}{(n+2)^2}\right)^{n(n+1)$ um zu $\left(\left[\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^2\right]^{(n+1)}\right)^n=\left(\left[\frac{n+1}{n+2}\right]^{2n+2}\right)^n$
Dann ist $\sqrt[n]{\left|\left(\left[\frac{n+1}{n+2}\right]^{2n+2}\right)^n\right|}=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{2n+2}=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{(n+2)+n}=\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n}$
Nun kannst du $\frac{n+1}{n+2}$ schreiben also $\frac{n+1+1-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$
Also hast du $\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n+2}\cdot{}\left(\frac{n+1}{n+2}\right)^{n}=\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\cdot{}\left(1-\frac{1}{n+2}\right)^n$
Den hinteren Faktor kannst du noch in die Form $\frac{(...)^{n+2}}{(...)^2}$ bringen und dann mal den Grenzübergang $n\to\infty$ machen
Sollte dabei ein q rauskommen, das kleiner als 1 ist, so ist deine Reihe konvergent
LG
schachuzipus
|
|
|
|
