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Es wäre super wenn mir jemand eine Idee geben könnte.
Danke im Voraus
Michael
PS.: Es kommt in keinem anderen forum vor.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Michael,
ich würde deine Potenzreihe zunächst ein wenig umschreiben, so dass sie die "Standardform" einer Potenzreihe hat:
$\sum\limits_{n=1}^{\infty} \pmat{2n \\ n}\cdot{}(x^2-1)^{2n}=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \underbrace{\pmat{2n \\ n}}_{:=a_n}\cdot{}\left(\underbrace{(x^2-1)^{2}}_{:=z}\right)^n}$
Nun berechne $R=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|$
Dann ist der Konvergenzradius der Potenzreihe $r=\frac{1}{R}$ und die Reihe konvergiert für $|z|<r$ und divergiert für $|z|>r$
Also $\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\pmat{2(n+1)\\n+1}}{\pmat{2n\\n}}\right|=\lim\limits_{n\to\infty}\left|\frac{\pmat{2n+2\\n+1}}{\pmat{2n\\n}}\right|$
Nun die Definition von $\pmat{n\\k}$ benutzen...
Die Beträge kannste auch weglassen, ist ja alles positiv
$=\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{(2n+2)(2n+1)\cdot{}2n\cdot{}(2n-1)\cdot{}.....\cdot{}(n+3)(n+2)}{(n+1)!}\cdot{}\frac{n!}{2n(2n-1)\cdot{}.....\cdot{}(n+3)(n+2)(n+1)}\right)$
Ich habe direkt mit dem Kehrbruch multipliziert....
Nun ausgiebig kürzen. Dabei bedenke: $(n+1)!=n!(n+1)$
$=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(2n+2)(2n+1)}{(n+1)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2(2n+1)}{n+1}=4=R$
Also Konvergenzradius $r=\frac{1}{R}=\frac{1}{4}$
Also konvergiert die Reihe für $|z|<\frac{1}{4}$
Also für $(x^2-1)^2<\frac{1}{4}$
Die in Frage kommenden $x$ kannst du nun selber berechnen 
Hoffe, ich hab mich nirgends verrechnet oder verschrieben
LG
schachuzipus
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