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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 So 02.10.2005 | | Autor: | Italo |
Hallo Community,
ich habe Probleme folgende Reihe zu lösen:
[mm] \summe_{i=0}^{x-1} \summe_{j=i}^{x-1} \summe_{k=i}^{x-1}1
[/mm]
Könnte mir bitte villeicht jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:11 So 02.10.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Italo!
> [mm]\summe_{i=0}^{x-1} \summe_{j=i}^{x-1} \summe_{k=i}^{x-1}1[/mm]
Stimmt diese Aufgabe so, wie sie dasteht? Bitte kontrolliere doch nochmal die Laufindices ...
Ansonsten gehen wir von innen nach außen vor.
Beginnen wir also mit [mm]\summe_{k=i}^{x-1}1[/mm]:
[mm]\summe_{k=i}^{x-1}1 \ = \ \underbrace{1 + 1 + 1 ... + 1 + 1}_{= \ x-1 - i + 1 \ Summanden} \ = \ 1 * (x-i) \ = \ x-i[/mm]
So musst Du Dich dann weiter nach außen "hangeln" bzw. vorarbeiten ...
Nur bei der äußersten Summe aufpassen, da der Laufindex $i_$ auch innerhalb des aufzusummierenden Ausdruckes vorkommt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:01 So 02.10.2005 | | Autor: | Italo |
[mm] \summe_{i=o}^{x-1} \summe_{j=i}^{x-1}(x-i) [/mm] habe ich dann.
Mit dem Weiteren habe ich dennoch Probleme...
Was ist denn [mm] \summe_{j=i}^{x-1}(x-i)???
[/mm]
Aber die Aufgabe ist so.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:18 So 02.10.2005 | | Autor: | ZetaX |
Hallo Italo,
hier kann man doch wieder genau so vorgehen:
$ [mm] \summe_{j=i}^{x-1}(x-i) [/mm] = (x-i) + (x-i) + ... + (x-i) = [mm] (x-1-i+1)\cdot [/mm] (x-i) = [mm] (x-i)(x-i)=(x-i)^2$
[/mm]
Erst die letzte Summe ist dann etwas schwieriger, da erstmals der Summationsindex in der Summe auftaucht.
Grüße,
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Italo |
Ich habe es versucht komme aber auf sinnlose Ergebnisse...
Was ist denn:
[mm] \summe_{i=0}^{x-1}(x-i)² [/mm] = ?
Könnte mir bitte jemand helfen?
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Hallo Italo,
[mm]\summe_{i=0}^{x-1}(x-i)^2=\summe_{i=0}^{x-1} x^2-2ix+i^2=\summe_{i=0}^{x-1}x^2 -2x*\summe_{i=0}^{x-1}i + \summe_{i=0}^{x-1}i^2[/mm]
In der ersten Summe kommt innen kein i vor, deshalb ist sie einfach [mm]x*x^2=x^3[/mm].
Die zweite Summe ist nach Gauß [mm]\bruch{(x-1)*(x-1+1)}{2}=\bruch{x^2}{2}-\bruch{x}{2}[/mm].
Weiterhin gilt [mm]\summe_{i=0}^{n}i^2=\bruch{n*(n+1)*(2n+1)}{6}[/mm] (kann man leicht per Induktion beweisen). Deshalb ist die dritte Summe [mm]\bruch{(x-1)*(x-1+1)*(2*(x-1)+1)}{6}=\bruch{2x^3-3x^2+x}{6}[/mm]
Insgesamt ist also [mm]\summe_{i=0}^{x-1}(x-i)^2=\bruch{x^3}{3}+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x}{6}[/mm]
mfG
Daniel
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Hi, Italo,
> Ich habe es versucht komme aber auf sinnlose Ergebnisse...
> Was ist denn:
> [mm]\summe_{i=0}^{x-1}(x-i)²[/mm] = ?
>
Kann sein, dass ich da total falsch liege, aber:
Diese Schreibweise ergibt m.E. nur dann einen Sinn, wenn x eine natürliche Zahl ist. (Laufvariable i geht von 0 bis x-1 (!!))
Da außerdem (x - (x-1)) = 1 ist, folgt:
[mm] \summe_{i=0}^{x-1}(x-i)² [/mm] = [mm] x^{2} [/mm] + [mm] (x-1)^{2} [/mm] + ... + [mm] 1^{2} [/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm]
(Ich schreibe n statt x, da es sich um natürliche Zahlen handelt!)
Die aber ist in fast jeder guten Formelsammlung zu finden [mm] \summe_{i=1}^{n}i² [/mm] = [mm] \bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}
[/mm]
Fehler ( i statt n) verbessert! Danke, Daniel!
mfG!
Zwerglein
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Hallo Zwerglein,
kleiner Schreibfehler:
> [mm]\summe_{i=0}^{x-1}(x-i)²[/mm] = [mm]x^{2}[/mm] + [mm](x-1)^{2}[/mm] + ... + [mm]1^{2}[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{n}\red{n}²[/mm]
> (Ich schreibe n statt x, da es sich um natürliche Zahlen
> handelt!)
>
> Die aber ist in fast jeder guten Formelsammlung zu finden
> [mm]\summe_{i=1}^{n}\red{n}²[/mm] = [mm]\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6}[/mm]
>
müsste i sein. Ansonsten hört sich das aber sehr plausibel an 
mfG
Daniel
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