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| Aufgabe | Zeigen Sie für |q| < 1:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty} k*q^{k-1} [/mm] = ( [mm] \bruch{1}{1-q} )^{2} [/mm]
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Ich bin nun mit der linken Seite angefangen, bekomme allerdings das Summenzeichen nicht weg. Ohne den Faktor k wäre das ja kein Problem, so weiß ich allerdings nicht weiter. Würde mich über ein paar Tipps sehr freuen. Gruß, Kai
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Falls du selbst noch ein bisschen knobeln möchtest, gebe ich dir nur den Tipp
![[]](/images/popup.gif) Herleitung der Summenformel für die geometrische Reihe
Falls nicht: Hier wendet man fast denselben Trick wie oben in dem Link an, nur zweimal: Es ist
[mm]s_{n} = \summe_{k=1}^{n}\left(k*q^{k-1}\right) = 1 + 2*q + 3*q^{2} + 4*q^{3} + ... + n*q^{n-1}[/mm]
Dann ist
[mm]q*s_{n} = \summe_{k=1}^{n}\left(k*q^{k}\right) = q + 2*q^{2} + 3*q^{3} + 4*q^{4} + ... + n*q^{n}[/mm]
und somit
[mm]s_{n} - q*s_{n} = 1 + q + q^{2} + q^{3} + ... + q^{n-1} - n*q^{n}[/mm]
Das rechte ist, mit Ausnahme des letzten Gliedes, eine ganz normale geometrische Reihe... Stelle sie wieder als Summenformel dar und du kannst sicher nach [mm] s_{n} [/mm] umstellen.
Dann lasse n gegen Unendlich laufen und der Beweis ist erbracht.
Stefan.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:32 Sa 09.08.2008 | | Autor: | elhadschi |
das ging ja schnell, besten dank!
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