Reihe mit n^n und (n+1)! < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:11 So 19.10.2014 | | Autor: | o9546403 |
| Aufgabe | | a(n) = [mm] \bruch{2^{n+1}\*n^{n}\*(n+1)!}{2^{n}\*n!\*(n+1)^{n+1}} [/mm] |
Hallo allerseits,
Ich soll den [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] von der obigen Reihe bestimmen, leider komme ich nicht sehr weit :/
Mir ist bewusst, dass ich [mm] 2^{n+1)} [/mm] mit [mm] 2^{n} [/mm] zu [mm] \bruch{2}{1} [/mm] kürzen kann, aber danach fehlt mir jeglicher Ansatz. Mich verwirrt hier insbesondere die !, soweit ich verstanden habe gilt aber [mm] n^{n} [/mm] > n!
Es wäre sehr lieb von euch, wenn mir jemand den Ansatz erklären könnte, in der Hoffnung, dass ich die restliche Rechnung selbst hinbekomme 
LG,
Dennis
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 19.10.2014 | | Autor: | abakus |
> a(n) =
> [mm]\bruch{2^{n+1}\*n^{n}\*(n+1)!}{2^{n}\*n!\*(n+1)^{n+1}}[/mm]
> Hallo allerseits,
>
> Ich soll den [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] von der obigen
> Reihe bestimmen, leider komme ich nicht sehr weit :/
>
> Mir ist bewusst, dass ich [mm]2^{n+1)}[/mm] mit [mm]2^{n}[/mm] zu
> [mm]\bruch{2}{1}[/mm] kürzen kann, aber danach fehlt mir jeglicher
> Ansatz. Mich verwirrt hier insbesondere die !, soweit ich
> verstanden habe gilt aber [mm]n^{n}[/mm] > n!
Hallo,
es gilt n!=1*2*3*...*n.
Entsprechend gilt (n+1)!=1*2*3*...*n *(n+1).
Somit kürzt sich [mm] $\frac{(n+1)!}{n!}$ [/mm] fast vollständig.
Was den Rest betrifft: Kennst du die Definition der Eulerschen Zahl e als Grenzwert?
Gruß Abakus
>
> Es wäre sehr lieb von euch, wenn mir jemand den Ansatz
> erklären könnte, in der Hoffnung, dass ich die restliche
> Rechnung selbst hinbekomme
>
> LG,
> Dennis
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:12 So 19.10.2014 | | Autor: | o9546403 |
Hallo Abakus,
erstmal vielen lieben Dank, dass du mir hilfst
Ich bin jetzt bei [mm] \bruch{2\*n^{n}}{(n+1)^{n}}, [/mm] soweit müsste doch alles stimmen?
e als Grenzwert bzw. die Herleitung sagen mir leider nichts. Die Recherche bei Google bringt einige Beispiele, verstanden habe ich sie aber nicht :(
LG,
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:22 So 19.10.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo Abakus,
>
> erstmal vielen lieben Dank, dass du mir hilfst
>
> Ich bin jetzt bei [mm]\bruch{2\*n^{n}}{(n+1)^{n}},[/mm] soweit
> müsste doch alles stimmen?
In der Tat:
$ [mm] a_{n}=\frac{2^{n+1}\cdot n^{n}\cdot(n+1)!}{2^{n}\cdot n!\cdot(n+1)^{n+1}} [/mm] $
$ [mm] =\frac{2\cdot n^{n}}{(n+1)^{n}} [/mm] $
Nun wende mal ein Potenzgesetz an, sowohl im Zähler als auch im Nenner taucht ein "hoch n" auf.
Ziehe dann mal die 2 noch vor den Bruch.
Danach ergänze im Zähler n zu n+1-1, und teile die Klammer in zwei Brüche auf, den ersten solltest du dann zu 1 kürzen können
>
> e als Grenzwert bzw. die Herleitung sagen mir leider
> nichts.
Weisst du, dass
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e
[/mm]
und, das brauchst du hier:
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}
[/mm]
generell gilt:
[mm] \lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{n}=e^{\alpha}
[/mm]
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 So 19.10.2014 | | Autor: | o9546403 |
Hallo Marius,
Danke für die tolle Erklärung, ich habe die Umformungen verstanden, es ist halt immer schwer auf so eine (m. M. n. ) komplexe Umformung zu kommen.
Ich hätte noch eine Frage, da ich ein anderes Ergebnis bekomme:
Aus [mm] 2\*(\bruch{n+1-1}{n+1})^{n} [/mm] folgt [mm] 2\*(\bruch{n+1}{n+1}-\bruch{1}{n+1})^{n},
[/mm]
wie du erwähnt hattest kürzen sich [mm] (\bruch{n+1}{n+1}) [/mm] zu 1.
der Term, welcher übrig bleibt ist dann aber: [mm] 2\*(1-\bruch{1}{n+1})^{n} [/mm]
und nicht [mm] 2\*(1-\bruch{1}{n})^{n} [/mm]
Oder habe ich da irgendwo einen Fehler eingebaut?
LG,
Dennis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:34 So 19.10.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] (\bruch{n}{n+1})^n=\bruch{1}{(1+\bruch{1}{n})^n}
[/mm]
übrigens: das ist eine Folge, keine Reihe!
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:40 So 19.10.2014 | | Autor: | abakus |
> Hallo
>
> > Hallo Abakus,
> >
> > erstmal vielen lieben Dank, dass du mir hilfst
> >
> > Ich bin jetzt bei [mm]\bruch{2\*n^{n}}{(n+1)^{n}},[/mm] soweit
> > müsste doch alles stimmen?
>
>
> In der Tat:
>
> [mm]a_{n}=\frac{2^{n+1}\cdot n^{n}\cdot(n+1)!}{2^{n}\cdot n!\cdot(n+1)^{n+1}}[/mm]
>
> [mm]=\frac{2\cdot n^{n}}{(n+1)^{n}}[/mm]
>
> Nun wende mal ein Potenzgesetz an, sowohl im Zähler als
> auch im Nenner taucht ein "hoch n" auf.
> Ziehe dann mal die 2 noch vor den Bruch.
> Danach ergänze im Zähler n zu n+1-1, und teile die
> Klammer in zwei Brüche auf, den ersten solltest du dann zu
> 1 kürzen können
>
> >
> > e als Grenzwert bzw. die Herleitung sagen mir leider
> > nichts.
>
> Weisst du, dass
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e[/mm]
> und, das brauchst du hier:
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}=\frac{1}{e}[/mm]
Hallo,
es geht auch ohne die Kenntniss dieses Grenzwertes für 1/e.
Wer nur ansatzweise davon gehört hat, kennt wahrscheinlich nur den "Einstieg"
[mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}=e[/mm], was sich auch als [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=e[/mm] oder nach Potenzgesetzen als [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{(n+1)^n}{n^n}=e[/mm]
Im vorliegenden Term des Fragestellers kommt das nun gerade mit vertauschtem Zähler und Nenner vor, woraus sich das Reziproke [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\frac{n^n}{(n+1)^n}=\frac1e[/mm] ergibt.
Gruß Abakus
>
> generell gilt:
>
> [mm]\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{\alpha}{n}\right)^{n}=e^{\alpha}[/mm]
>
> Marius
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