Reihe mit binomischem Lehrsatz < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:53 Sa 04.05.2013 | | Autor: | buugy |
| Aufgabe | | Berechnen Sie den Wert der Reihe [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(x+y)^{k}}{k!}$ [/mm] indem Sie den binomischen Lehrsatz verwenden, Summationsreihenfolge vertauschen und Summationsindizes anpassen |
Ich hab das mal zu folgender Summe verändert: [mm] $\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{\summe_{n=0}^{k}\vektor{k \\ n}x^{k-n}y^{n}}{k!}\right)$
[/mm]
bin aber jetzt ziemich ratlos, wie ich die Summationsreihenfolge verändern soll, da ja die Summe des Binomialkoeffizienten immer nur bis zum derzeitigen k läuft ...
Wär toll wenn ihr ein paar Tipps für mich hättet.
lg
Buugy
PS:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo buugy, ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Wie schon der Tipp zur Aufgabe nahelegt, gibt es da mehrere Schritte, einiges an Überlegung und viel Schreibarbeit.
Manchmal hilft es ja aber, wenn man weiß, wo man hin will. Deswegen verrate ich Dir mal das Ergebnis:
[mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(x+y)^{k}}{k!}=e^{x+y}[/mm]
> Ich hab das mal zu folgender Summe verändert:
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{\summe_{n=0}^{k}\vektor{k \\ n}x^{k-n}y^{n}}{k!}\right)[/mm]
Das ist soweit gut.
Dann kennst Du bestimmt [mm] \lim_{m\to\infty}\left(1+\bruch{a}{m}\right)^m=e^a.
[/mm]
hmpf. Da fehlte doch tatsächlich der wesentliche Exponent. Es ist immer gut, wenn man nach dem Absenden nochmal kontrolliert, ob auch das da steht, was man wollte. Hab ich aber nicht. Danke an Marcel!
Im Prinzip steht genau das auch schon da, mit $a=x+y$.
> bin aber jetzt ziemich ratlos, wie ich die
> Summationsreihenfolge verändern soll, da ja die Summe des
> Binomialkoeffizienten immer nur bis zum derzeitigen k
> läuft ...
Eine einfache Überlegung: in dieser Summation tauchen alle denkbaren "normalen" Binomialkoeffizienten auf, jeder einmal - und noch durch k! geteilt.
Versuchs mal; es ist wirklich nicht wenig Schreibarbeit...
Viel Erfolg!
Grüße
reverend
PS: Super übrigens, dass Du direkt den Formeleditor benutzt!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Sa 04.05.2013 | | Autor: | buugy |
Wenn ich die Summe ausschreibe steht ja folgendes da:
[mm] $1+\bruch{x+y}{1}+\bruch{x^2+2xy+y^2}{2}+\bruch{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}{6}+... [/mm] = [mm] 1+\bruch{x}{1}+\bruch{y}{1}+\bruch{x^2}{2}+\bruch{2xy}{2}+\bruch{y^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+\bruch{3x^2y}{6}+\bruch{3xy^2}{6}+\bruch{y^3}{6}+...$
[/mm]
Ich hab nun die Summation volgendermaßen verändert: [mm] $\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=n}^{\infty}\left(\bruch{\vektor{k \\ n}x^{k-n}y^n}{k!}\right)$
[/mm]
Das ergibt, wenn ich mir das richtig überlegt habe folgendes: [mm] $1+\bruch{x}{1}+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+ [/mm] ... + [mm] \bruch{y}{1}+\bruch{2xy}{2}+\bruch{3x^2y}{6}+ [/mm] ... + [mm] \bruch{y^2}{2}+\bruch{3xy^2}{6}+ [/mm] ...$ , was das selbe ist nur anders angeordnet ...
Bin ich am Holzweg, wenn nein, wo gehts jetzt weiter? ^^
Wenn man die Summenformel für die e-Funktion kennt, kann man das Ergebnis ja eig. gleich hinschrieben ... weiß nicht genau, worauf dieses "Summationsreihenfolge vertauschen" hinauslaufen soll ...
lg
Rince
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:17 So 05.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Wenn ich die Summe ausschreibe steht ja folgendes da:
>
> [mm]1+\bruch{x+y}{1}+\bruch{x^2+2xy+y^2}{2}+\bruch{x^3+3x^2y+3xy^2+y^3}{6}+... = 1+\bruch{x}{1}+\bruch{y}{1}+\bruch{x^2}{2}+\bruch{2xy}{2}+\bruch{y^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+\bruch{3x^2y}{6}+\bruch{3xy^2}{6}+\bruch{y^3}{6}+...[/mm]
>
> Ich hab nun die Summation volgendermaßen verändert:
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}\summe_{k=n}^{\infty}\left(\bruch{\vektor{k \\ n}x^{k-n}y^n}{k!}\right)[/mm]
>
> Das ergibt, wenn ich mir das richtig überlegt habe
> folgendes: [mm]1+\bruch{x}{1}+\bruch{x^2}{2}+\bruch{x^3}{6}+ ... + \bruch{y}{1}+\bruch{2xy}{2}+\bruch{3x^2y}{6}+ ... + \bruch{y^2}{2}+\bruch{3xy^2}{6}+ ...[/mm]
> , was das selbe ist nur anders angeordnet ...
>
> Bin ich am Holzweg, wenn nein, wo gehts jetzt weiter? ^^
>
> Wenn man die Summenformel für die e-Funktion kennt, kann
> man das Ergebnis ja eig. gleich hinschrieben ...
vielleicht sollt ihr die gerade aber beweisen vermittels der Definition
[mm] $$e^z:=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}\,.$$
[/mm]
Dann ist noch nichtmal so klar, dass auch
[mm] $$e^z=\lim_{n \to \infty} \Big(1+\frac{z}{n}\Big)^n$$
[/mm]
gilt. (Bei ![[]](/images/popup.gif) Satz 7.4 findest Du den Beweis!)
> weiß
> nicht genau, worauf dieses "Summationsreihenfolge
> vertauschen" hinauslaufen soll ...
In dem verlinkten Skript findest Du die Rechnung auch (vor allem auch die
(einfache) Begründung, warum man hier eigentlich Summationsreihenfolge
vertauschen darf).
Man kann [mm] $\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\right)*\left(\sum_{k=0}^\infty \frac{y^k}{k!}\right)$ [/mm] mit dem Cauchyprodukt ausrechnen, das geht auch...
Macht ja aber nichts, rechnen wir halt rückwärts, ich schreibe die Indizes
mal mit anderen Variablennamen hin (einfach, weil etwa ${k [mm] \choose [/mm] n}$ ungewohnter
aussieht als ${n [mm] \choose [/mm] k}$):
[mm] $$\sum_{n=0}^\infty \frac{(x+y)^n}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{\sum_{k=0}^n {n \choose k}x^k y^{n-k}}{n!}=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!} \frac{y^{n-k}}{(n-k)!}=(\*)$$
[/mm]
Eigentlich kannst Du jetzt in den Beweis von Satz 7.2 gucken, und siehst,
indem Du die Rechnung dort von rechts nach links liest, sofort, dass da
ein Cauchyprodukt steht. Wenn ihr das noch nicht benutzen dürft, dann
mach' Dir einfach klar, wie das Cauchyprodukt entsteht (entweder
überlegst Du Dir das selbst, oder Du suchst mal mit Google) und sortiere
einfach entsprechend um, und schon bist Du relativ schnell fertig mit der
Aufgabe.
Aber schauen wir mal:
Seien [mm] $a_k:=\frac{x^k}{k!}$ [/mm] und [mm] $b_k:=\frac{y^{k}}{k!}\,.$
[/mm]
Dann steht oben
[mm] $$(\*)=\sum_{n=0}^\infty \sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}=...$$
[/mm]
Also
[mm] $...=a_0b_0$ $\;\;\;\;\red{\text{hier ist }n=0}$
[/mm]
[mm] $+a_0b_1+a_1b_0$ $\!\!\!\!\!\!\!\red{\text{hier ist }n=1}$
[/mm]
[mm] $+a_0b_2+a_1b_1+a_2b_0$ $\;\;\;\;\;\;\;\red{\text{hier ist }n=2}$
[/mm]
[mm] $+a_0b_3+a_1b_2+a_2b_1+a_3b_0$ $\!\!\!\!\!\!\!\red{\text{hier ist }n=3}$
[/mm]
$+...$
$+...$
$+...$
Addierst Du nun 'spaltenweise':
[mm] $=a_0*\Big(\sum_{k=0}^\infty b_k\Big)+a_1*\Big(\sum_{k=0}^\infty b_k\Big)+a_2*\Big(\sum_{k=0}^\infty b_k\Big)+...$
[/mm]
Das bekommst Du noch zu Ende gerechnet. Und dann:
Was ist denn etwa [mm] $\sum_{k=0}^\infty b_k$ [/mm] mit [mm] $b_k=\tfrac{y^k}{k!}$? [/mm]
Gruß,
Marcel
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:43 Sa 04.05.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo reverend,
> Hallo buugy,
>
> Wie schon der Tipp zur Aufgabe nahelegt, gibt es da mehrere
> Schritte, einiges an Überlegung und viel Schreibarbeit.
>
> Manchmal hilft es ja aber, wenn man weiß, wo man hin will.
> Deswegen verrate ich Dir mal das Ergebnis:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\bruch{(x+y)^{k}}{k!}=e^{x+y}[/mm]
>
> > Ich hab das mal zu folgender Summe verändert:
> >
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}\left(\bruch{\summe_{n=0}^{k}\vektor{k \\ n}x^{k-n}y^{n}}{k!}\right)[/mm]
>
> Das ist soweit gut.
> Dann kennst Du bestimmt
> [mm]\lim_{m\to\infty}\left(1+\bruch{a}{m}\right)=e^a.[/mm]
korrigiere das mal bitte, bspw.: Nicht $1+1/n [mm] \to e\,,$ [/mm] sondern [mm] $(1+1/n)^{\red{n}} \to e\,.$
[/mm]
Und das ist nur ein "fundamentaler" Verschreiber, nimm' mir das nicht übel! 
Gruß,
Marcel
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