Reihe doch konvergent? < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:05 So 26.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
| Aufgabe | | j) [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2^{k}*k!}{k^k} [/mm] |
Hallo
es geht um obige Reihe.
Irgendwie bekomme ich unterschiedliche Ergebnisse raus :/
Bin nach diesem Schema vorgegangen:
Ich muss erst das Notwendige Kriterium überprüfen. Es besagt, dass die Folge innerhalb der Reihe gegen 0 konvergieren muss.
Wenn es nicht der Fall ist, dann ist die Reihe divergent.
Wenn es der Fall ist, dann muss ich noch das hinreichende Kriterium untersuchen (Grenzwertkriterium, Wurzelkriterium Quotientenkriterium, geometrische Reihe, ...)
So, jetzt zu meiner Rechnung:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}*k!}{k^k}
[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2*k!}{k} \to \infty
[/mm]
Da die Fakultät ja schneller wächst als jede Potenz, konvergiert die Folge nicht.
Das notwendige Kriterium ist nicht erfüllt und somit ist die Reihe divergent.
Zeichnung der Folge:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28n%29%3Dsum+%282%2Ai%21%29%2F%28i%29+from+i%3D1+to+n
Zeichnung der Reihe:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28n%29%3Dsum+%282%5E%28i%29%2Ai%21%29%2F%28i%5E%28i%29%29+from+i%3D1+to+n
Wieso konvergiert die Reihe? Das notwendige Kriterium ist doch nicht erfüllt, also darf sie nicht konvergieren...sie tut es aber doch...als ob sie es extra machen würde und mir den tag versauen will :/
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:11 So 26.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Ich glaube ich weiß wo der Fehler liegt.
Bei Wolfram Alpha habe ich nicht die Folge, sondern die Reihe gezeichnet.
Leider weiß ich nicht, wie man bei Wolfram Folgen zeichnet.
Habe die Seite schon seit Tagen geöffnet, weil sie hier jemand im Forum mit einem Beispiel erwähnt hat
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Hallo nochmal,
du kannst dir Grenzwerte von Folgen bzw. von Funktionen ausrechnen lassen (und Schritte anzeigen lassen)
Da!
http://www.wolframalpha.com/input/?i=limit&a=*C.limit-_*Calculator.dflt-&f2=%282^x*x!%29%2Fx^x&x=0&y=0&f=Limit.limitfunction_%282^x*x!%29%2Fx^x&f3=infinity&f=Limit.limit_infinity&a=*FVarOpt.1-_**-.***Limit.limitvariable--.**Limit.direction---.*--
Gruß
schachuzipus
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Hallo JanineH.,
> j) [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2^{k}*k!}{k^k}[/mm]
> Hallo
>
> es geht um obige Reihe.
> Irgendwie bekomme ich unterschiedliche Ergebnisse raus :/
>
> Bin nach diesem Schema vorgegangen:
>
> Ich muss erst das Notwendige Kriterium überprüfen. Es
> besagt, dass die Folge innerhalb der Reihe gegen 0
> konvergieren muss.
Wohl wahr!
> Wenn es nicht der Fall ist, dann ist die Reihe divergent.
So isses!
> Wenn es der Fall ist, dann muss ich noch das hinreichende
> Kriterium untersuchen (Grenzwertkriterium, Wurzelkriterium
> Quotientenkriterium, geometrische Reihe, ...)
Nein, wenn das Trivialkriterium nicht erfüllt ist, die Folge der Reihenglieder also keine Nullfolge ist, hast du doch Divergenz, da bist du fertig!
>
>
> So, jetzt zu meiner Rechnung:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}*k!}{k^k}[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2*k!}{k} \to \infty[/mm]
Oh, was soll das [mm] "$\gdw$" [/mm] ?
Da darf allenfalls ein "=" hin.
Aber wohin sind die Potenzen verschwunden?
>
> Da die Fakultät ja schneller wächst als jede Potenz,
> konvergiert die Folge nicht.
Hoppala, aber die Basis der Potenz im Nenner ist doch auch k, das läuft doch mit gegen [mm] $\infty$
[/mm]
Es ist [mm] $\left(\frac{2^k\cdot{}k!}{k^k}\right)_{k\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge.
Bei Reihen mit Fakultäten und Potenzen drängt sich das Quotientenkriterium doch geradezu auf, da wird sich gem. Potenzregeln und [mm] $(k+1)!=k!\cdot{}(k+1)$ [/mm] doch so etliches wegheben.
Also berechne mal [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|$ [/mm] mit [mm] $a_k=\frac{2^k\cdot{}k!}{k^k}$
[/mm]
> Das notwendige Kriterium ist nicht erfüllt und somit ist
> die Reihe divergent.
Nä!
>
> Zeichnung der Folge:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28n%29%3Dsum+%282%2Ai%21%29%2F%28i%29+from+i%3D1+to+n
>
> Zeichnung der Reihe:
>
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=f%28n%29%3Dsum+%282%5E%28i%29%2Ai%21%29%2F%28i%5E%28i%29%29+from+i%3D1+to+n
>
> Wieso konvergiert die Reihe? Das notwendige Kriterium ist
> doch nicht erfüllt,
Doch, sie kann also konvergieren, das untersuche mit dem QK!
> also darf sie nicht konvergieren...sie
> tut es aber doch...als ob sie es extra machen würde und
> mir den tag versauen will :/
Die Reihe ist aber auch fies 
Nimm das QK und alles löst sich in 3min in Wohlgefallen auf!
Tag gerettet!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 So 26.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey schachuzipus
Danke für die schnelle Antwort :-D
An das Quotientenkriterium habe ich auch gedacht, aber das darf ich ja erst verwenden, wenn ich das notwendige Kriterium überprüft habe und da habe ich Probleme.
Es ist ja wie bei den Extremstellen einer Funktion.
Erst muss das notwendige Kriterium erfüllt sein und dann kann man erst das hinreichende Kriterium überprüfen.
Ich gehe immer streng nach diesem Schema vor.
Du sagst ja jetzt:
> Wenn es der Fall ist, dann muss ich noch das hinreichende
> Kriterium untersuchen (Grenzwertkriterium, Wurzelkriterium
> Quotientenkriterium, geometrische Reihe, ...)
Nein, wenn das Trivialkriterium nicht erfüllt ist, die Folge der Reihenglieder also keine Nullfolge ist, hast du doch Divergenz, da bist du fertig!
Ich verstehe es nicht ganz.
Versuche es nochmal aufzuschreiben:
Wenn die Folge innerhalb der Reihe gegen 0 konvergiert, dann bedeutet dies noch nicht, dass die Reihe konvergiert.
Man muss erst das hinreichende Kriterium (Grenzwertkriterium, Quotientenkriterium, ...) überprüfen. Dann kann ich erst sagen, ob die Reihe auch konvergiert.
Habe es nochmal probiert:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}}
[/mm]
=
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] k! [mm] (\bruch{2}{k})^{k}
[/mm]
Der Bruch [mm] (\bruch{2}{k})^{k} [/mm] geht mit der Zeit gegen 0 :D
[mm] (2*1*\bruch{2}{3}*\bruch{2}{4}*\bruch{2}{5}*...) [/mm] < 1
Wenn ich jetzt dieses < 1 mit einer beliebigen Zahl multipliziere, dann wird es nochmal kleiner.
Deshalb:
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} [/mm] k! [mm] (\bruch{2}{k})^{k} \to [/mm] 0
Das notwendige Kriterium ist erfüllt. Jetzt muss ich das hinreichende überprüfen und wegen Fakultät und k als Exponenten eignet sich das Quotientenkriterium, weil man dann die Fakultäten und Exponenten eventuell wegkürzen kann:
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}}
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \to [/mm] q
|q| < 1 --> konvergent
|q| > 1 --> divergent
|q| = 1 --> keine Aussage. Man muss anderes Kriterium verwenden
[mm] \limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{k+1}(k+1)!}{(k+1)^{(k+1)}}}{\bruch{2^{k}k!}{k^{k}}}
[/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}2k!(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k}(k+1)2^{k}k!}
[/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2(\bruch{k}{k+1})^{k} \to [/mm] weiß ich nicht genau.
[mm] (\bruch{k}{k+1})^{k} [/mm] ist auf jedenfall immer kleiner als 1. Wenn ich das für ein großes k mit 2 multipliziere, kommt trotzdem < 1 raus.
|q| < 1 und somit konvergent.
Der Bruch erinnert mich irgendwie an die Zahl e, ist aber trotzdem komisch, weil ja e so ausschaut:
(1 + [mm] \bruch{1}{k})^{k}
[/mm]
Danke für Deine Hilfe :D Hast mir den Tag gerettet hehe
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Hallo nochmal,
> Hey schachuzipus
> Danke für die schnelle Antwort :-D
Ah, musste gerade spülen ...
> An das Quotientenkriterium habe ich auch gedacht, aber das
> darf ich ja erst verwenden, wenn ich das notwendige
> Kriterium überprüft habe
Wieso das denn?
Das stimmt doch nicht!
Das notwednige Krit. ist doch nur ein Hilfsmittel, so dass du manchmal entscheiden kannst, dass eine Reihe divergent ist.
> und da habe ich Probleme.
>
> Es ist ja wie bei den Extremstellen einer Funktion.
> Erst muss das notwendige Kriterium erfüllt sein und dann
> kann man erst das hinreichende Kriterium überprüfen.
Nein, wenn das Quotientenkrit [mm]\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=q<1[/mm] liefert, hast du absolute Konvergenz, liefert der GW [mm]q>1[/mm], so hast du Divergenz, liefert es [mm]q=1[/mm] bist du gekniffen. Da liefert das QK keine Aussage und du musst dir anders behelfen.
> Ich gehe immer streng nach diesem Schema vor.
> Du sagst ja jetzt:
>
>
>
> > Wenn es der Fall ist, dann muss ich noch das hinreichende
> > Kriterium untersuchen (Grenzwertkriterium, Wurzelkriterium
> > Quotientenkriterium, geometrische Reihe, ...)
>
> Nein, wenn das Trivialkriterium nicht erfüllt ist, die
> Folge der Reihenglieder also keine Nullfolge ist, hast du
> doch Divergenz, da bist du fertig!
>
>
> Ich verstehe es nicht ganz.
> Versuche es nochmal aufzuschreiben:
> Wenn die Folge innerhalb der Reihe gegen 0 konvergiert,
> dann bedeutet dies noch nicht, dass die Reihe konvergiert.
Genau! Dann kann Konvergenz vorliegen oder Divergenz (siehe zB. die harmonische Reihe)
> Man muss erst das hinreichende Kriterium
> (Grenzwertkriterium, Quotientenkriterium, ...)
> überprüfen. Dann kann ich erst sagen, ob die Reihe auch
> konvergiert.
Nochmal:
Das Trivialkrit. sagt dir, dass die Reihe divergent ist, wenn die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge ist.
Ist die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge, so kann Konvergenz oder Divergenz der Reihe vorliegen.
Das TK hilft die also nur direkt bei der Entscheidung für Divergenz, nämlich dann, wenn die Folge der Reihenglieder keine Nullfolge ist.
>
> Habe es nochmal probiert:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] k! [mm](\bruch{2}{k})^{k}[/mm]
>
> Der Bruch [mm](\bruch{2}{k})^{k}[/mm] geht mit der Zeit gegen 0 :D
>
> [mm](2*1*\bruch{2}{3}*\bruch{2}{4}*\bruch{2}{5}*...)[/mm] < 1
>
> Wenn ich jetzt dieses < 1 mit einer beliebigen Zahl
> multipliziere, dann wird es nochmal kleiner.
> Deshalb:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] k! [mm](\bruch{2}{k})^{k} \to[/mm] 0
>
> Das notwendige Kriterium ist erfüllt. Jetzt
Das "Jetzt" ist Quark, du kannst direkt mit dem QK loslegen, das TK kannst du dir schenken.
Wenn du feststellst, dass die Folge der Reihenglieder eine Nullfolge ist, bist du doch genauso weit wie vorher: die Reihe kann konvergieren oder divergieren.
Da biste keinen Schritt weiter. Kannst also direkt mit einem der KOnvergenzkriterien zuschlagen.
> muss ich das
> hinreichende überprüfen und wegen Fakultät und k als
> Exponenten eignet sich das Quotientenkriterium, weil man
> dann die Fakultäten und Exponenten eventuell wegkürzen
> kann:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}}[/mm]
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \to[/mm] q
>
> |q| < 1 --> konvergent
> |q| > 1 --> divergent
> |q| = 1 --> keine Aussage. Man muss anderes Kriterium
> verwenden
Ohne Beträge, der GW des Betrages des Quotienten da ob ist doch stets [mm]\ge 0[/mm]
Aber so isses!
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{k+1}(k+1)!}{(k+1)^{(k+1)}}}{\bruch{2^{k}k!}{k^{k}}}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}2k!(k+1)k^{k}}{(k+1)^{k}(k+1)2^{k}k!}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2(\bruch{k}{k+1})^{k} \to[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Sehr gut soweit!
> weiß ich nicht genau.
>
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm] ist auf jedenfall immer kleiner als 1.
> Wenn ich das für ein großes k mit 2 multipliziere, kommt
> trotzdem < 1 raus.
>
> |q| < 1 und somit konvergent.
>
> Der Bruch erinnert mich irgendwie an die Zahl e,
Aha!
> ist aber
> trotzdem komisch, weil ja e so ausschaut:
>
> (1 + [mm]\bruch{1}{k})^{k}[/mm]
Jo, das liefert im Grenzprozess [mm]e[/mm]
Allg. [mm]\left(1+\frac{\red{x}}{k}\right)^k\longrightarrow e^{\red{x}}[/mm] für [mm]k\to\infty[/mm]
Hier also [mm]\left(\frac{k}{k+1}\right)^k=\left(\frac{k+1-1}{k+1}\right)^k=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k=\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\cdot{}\frac{1}{\left(1-\frac{1}{k+1}\right)}[/mm] ergibt sich was ? ...
>
> Danke für Deine Hilfe :D Hast mir den Tag gerettet hehe
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:07 So 26.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey schachuzipus,
das mit dem Trivialkriterium und den hinreichenden Kriterien habe ich jetzt, glaube ich, verstanden.
[mm] (1-\bruch{1}{k+1})^{k}*(1-\bruch{1}{k+1}) *(1-\bruch{1}{1- \bruch{1}{k+1}}) [/mm]
=
[mm] (1-\bruch{1}{k+1})^{k}*(1+\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k^{2}+k})
[/mm]
=
[mm] (1-\bruch{1}{k+1})^{k} [/mm] * 1 = [mm] (\bruch{k+1}{k+1}-\bruch{1}{k+1})^{k}
[/mm]
= [mm] (\bruch{k}{k+1})^{k}
[/mm]
Das ist ja nichts anderes als der Kehrwert von
[mm] (1+\bruch{1}{k})^{k} [/mm] = [mm] (\bruch{k}{k}+\bruch{1}{k})^{k} [/mm] = [mm] (\bruch{k+1}{k})^{k}
[/mm]
Diese Folge geht ja gegen e. Dann müsste der Kehrwert doch gegen
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] gehen.
[mm] \bruch{1}{e} [/mm] < 1 und somit ist die Reihe konvergent.
oder ist das kompletter Humbug?
Nochmals Danke für deine Hilfe. Werde jetzt mal was essen und dann weiter Mathe lernen :D
Liebe Grüße
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Hallo nochmal,
> Hey schachuzipus,
>
> das mit dem Trivialkriterium und den hinreichenden
> Kriterien habe ich jetzt, glaube ich, verstanden.
Gut, gut!
>
>
> [mm](1-\bruch{1}{k+1})^{k}*(1-\bruch{1}{k+1}) *(1-\bruch{1}{1- \bruch{1}{k+1}})[/mm]
> =
>
> [mm](1-\bruch{1}{k+1})^{k}*(1+\bruch{1}{k}-\bruch{1}{k+1}-\bruch{1}{k^{2}+k})[/mm]
> =
> [mm](1-\bruch{1}{k+1})^{k}[/mm] * 1 =
> [mm](\bruch{k+1}{k+1}-\bruch{1}{k+1})^{k}[/mm]
> = [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm]
>
>
> Das ist ja nichts anderes als der Kehrwert von
> [mm](1+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] = [mm](\bruch{k}{k}+\bruch{1}{k})^{k}[/mm] =
> [mm](\bruch{k+1}{k})^{k}[/mm]
> Diese Folge geht ja gegen e. Dann müsste der Kehrwert
> doch gegen
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] gehen.
Das stimmt zwar, aber so richtig kapiere ich deine Umformung nicht:
[mm] $\left(1-\frac{1}{k+1}\right)^k [/mm] \ = \ [mm] \left(1-\frac{1}{k+1}\right)^{k+1}\cdot{}\left(\frac{1}{1-\frac{1}{k+1}}\right) [/mm] \ [mm] \longrightarrow e^{-1}\cdot{}1=e^{-1}$ [/mm] für [mm] $k\to\infty$
[/mm]
(Du könntest auch $m:=k+1$ substituieren und hättes dann in der ersten Klammer [mm] $\lim\limits_{m\to\infty}\left(1-\frac{1}{m}\right)^m=e^{-1}$
[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{e}[/mm] < 1 und somit ist die Reihe konvergent.
> oder ist das kompletter Humbug?
Nein, so ist es recht!
Aber Achtung! Du hast den Vorfaktor 2 verschlabbert, insgesamt geht es gegen [mm] $q=\frac{2}{e}<1$
[/mm]
>
> Nochmals Danke für deine Hilfe. Werde jetzt mal was essen
> und dann weiter Mathe lernen :D
>
> Liebe Grüße
Dann guten Hunger ...
Gruß
schachuzipus
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Hallo Janine,
noch zwei Bemerkungen zusätzlich zu den zahlreichen Punkten, die schachuzipus bereits kommentiert hat:
> Habe es nochmal probiert:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] k! [mm](\bruch{2}{k})^{k}[/mm]
>
> Der Bruch [mm](\bruch{2}{k})^{k}[/mm] geht mit der Zeit gegen 0 :D
>
> [mm](2*1*\bruch{2}{3}*\bruch{2}{4}*\bruch{2}{5}*...)[/mm] < 1
>
> Wenn ich jetzt dieses < 1 mit einer beliebigen Zahl
> multipliziere, dann wird es nochmal kleiner.
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Wieso das denn? k! ist alles andere als eine "beliebige Zahl". Deine Schlussfolgerung stimmt nur (und auch dann nicht ganz!), wenn Du mit einer festen Zahl multiplizierst, und die muss auch noch kleiner 1 sein, damit "es nochmal kleiner" wird.
> Deshalb:
>
> [mm]\limes_{k\rightarrow\infty}[/mm] k! [mm](\bruch{2}{k})^{k} \to[/mm] 0
Das hast Du noch nicht gezeigt.
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm] ist auf jedenfall immer kleiner als 1.
> Wenn ich das für ein großes k mit 2 multipliziere, kommt
> trotzdem < 1 raus.
Und woher weißt Du das? Taschenrechner?
Es stimmt zwar, aber das wirst Du erst zeigen können, wenn Du den Tipp von schachuzipus weiter verfolgst.
> |q| < 1 und somit konvergent.
Auch das hast Du noch nicht gezeigt.
Grüße
reverend
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 So 26.06.2011 | | Autor: | JanineH. |
Hey reverend,
Was ich jetzt von schachuzipus gelernt habe ist, dass man direkt mit den hinreichenden Kriterien anfangen kann. Das notwendige Kriterium kann man dazu verwenden um die Divergenz zu zeigen.
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}}
[/mm]
Jetzt verwende ich das Quotientenkriterium:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{k+1}(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\bruch{2^{k}k!}{k^{k}}}
[/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}*2*k!*(k+1)*k^{k}}{(k+1)^{k}*(k+1)*2^{k}*k!}
[/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2*(\bruch{k}{k+1})^{k} [/mm]
=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} 2*\bruch{1}{e} \to \bruch{2}{e}
[/mm]
[mm] \bruch{2}{e} [/mm] < 1 und somit ist die Reihe konvergent :D
Der Term [mm] (\bruch{k}{k+1})^{k} [/mm] ist ja kleiner als 1, wenn k gegen Unendlich geht.
Der Nenner ist immer größer als der Zähler. Man multipliziert also immer 0,.... Zahlen miteinander und das ist ja kleiner als 1.
Wenn man nun eine sehr kleine 0,... Zahl mit 2 multipliziert, kommt trotzdem eine 0,....... raus.
Ich weiß nur nicht, ob man so in einer Klausur argumentieren kann, weil ich ohne schachuzipus Hilfe nicht darauf gekommen wäre, dass
[mm] (\bruch{k}{k+1})^{k}
[/mm]
gegen den Kehrwert von e geht.
schönen Abend Euch beiden :)
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> Hey reverend,
>
> Was ich jetzt von schachuzipus gelernt habe ist, dass man
> direkt mit den hinreichenden Kriterien anfangen kann. Das
> notwendige Kriterium kann man dazu verwenden um die
> Divergenz zu zeigen.
>
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{2^{k}*k!}{k^{k}}[/mm]
>
> Jetzt verwende ich das Quotientenkriterium:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{\bruch{2^{k+1}(k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\bruch{2^{k}k!}{k^{k}}}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{2^{k}*2*k!*(k+1)*k^{k}}{(k+1)^{k}*(k+1)*2^{k}*k!}[/mm]
>
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2*(\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm]
> =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} 2*\bruch{1}{e} \to \bruch{2}{e}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{e}[/mm] < 1 und somit ist die Reihe konvergent :D
>
> Der Term [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm] ist ja kleiner als 1, wenn k
> gegen Unendlich geht.
> Der Nenner ist immer größer als der Zähler. Man
> multipliziert also immer 0,.... Zahlen miteinander und das
> ist ja kleiner als 1.
> Wenn man nun eine sehr kleine 0,... Zahl mit 2
> multipliziert, kommt trotzdem eine 0,....... raus.
> Ich weiß nur nicht, ob man so in einer Klausur
> argumentieren kann, weil ich ohne schachuzipus Hilfe nicht
> darauf gekommen wäre, dass
>
> [mm](\bruch{k}{k+1})^{k}[/mm]
>
> gegen den Kehrwert von e geht.
hallo,
das solltest du aber doch bereits wissen
schreibe dazu [mm] (\frac{k}{k+1})^k [/mm] um zu [mm] (e^{ln(\frac{k}{k+1})})^{k} [/mm] und jetzt mit l'hopital weiter
mit prosa wird das in ner klausur denk ich sonst nicht viel
>
> schönen Abend Euch beiden :)
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