Reihe bestimmt divergiert, < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Mi 03.12.2014 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Frage 1):
Wenn eine Reihe divergiert und die Reihe nur positive Folgenglieder besitzt, divergiert sie dann automatisch auch bestimmt?(Also gegen [mm] \pm \infty)
[/mm]
Frage 2):
Wenn die Reihe [mm] \sum_{n=0}^{\infty} (a_n +b_n) [/mm] bestimmt divergiert. Kann ich dann eine Aussage über [mm] \sum_{n=0}^{\infty} a_n [/mm] und [mm] \sum_{n=0}^{\infty} b_n [/mm] machen? |
Hallo zusammen,
Das sind 2 Fragen, die während eines Beweises aufgetaucht sind, ich hoffe ihr könnt sie mir beantworten bzw. mir Tipps geben.
Danke!
LG,
sissi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:04 Mi 03.12.2014 | | Autor: | fred97 |
> Frage 1):
> Wenn eine Reihe divergiert und die Reihe nur positive
> Folgenglieder besitzt, divergiert sie dann automatisch auch
> bestimmt?(Also gegen [mm]\pm \infty)[/mm]
Gegen [mm] $-\infty$ [/mm] ganz bestimmt nicht !
Wenn in der Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] alle [mm] a_n [/mm] >0 sind, so ist doch die Folge [mm] (s_n) [/mm] streng wachsend, wobei
[mm] s_n=a_1+...+a_n
[/mm]
ist. Ist [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] divergent, so ist [mm] (s_n) [/mm] divergent und zwar gegen [mm] \infty.
[/mm]
Das bedeutet nichts anderes, als dass die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}a_n [/mm] gegen [mm] \infty [/mm] strebt.
>
> Frage 2):
> Wenn die Reihe [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (a_n +b_n)[/mm] bestimmt
> divergiert. Kann ich dann eine Aussage über
> [mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] und [mm]\sum_{n=0}^{\infty} b_n[/mm]
> machen?
Ja, die folgende:
[mm]\sum_{n=0}^{\infty} a_n[/mm] oder [mm]\sum_{n=0}^{\infty} b_n[/mm]
muss divergieren, denn wären beide Reihen konvergent, so wäre auch [mm]\sum_{n=0}^{\infty} (a_n +b_n)[/mm] konvergent.
FRED
> Hallo zusammen,
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> Das sind 2 Fragen, die während eines Beweises aufgetaucht
> sind, ich hoffe ihr könnt sie mir beantworten bzw. mir
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> sissi
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