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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:43 So 29.06.2008 | | Autor: | Wimme |
| Aufgabe | Bestimmen Sie
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k^2 \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} [/mm] |
Hallo!
Die Aufgabe stammt eigentlich aus der Stochastik, um einen Erwartungswert auszurechnen.
Joar, ich habe auch eine Idee, wie ich das lösen kann. Aber ich komme dann am Ende mit dem Index nicht hin. Also erstmal kann ich ja die untere Grenze auf 1 hochschieben. Dann kann ich die E-Funktion rausziehen, mit dem [mm] k^2 [/mm] kürzen und [mm] \lambda^2 [/mm] rausziehen, dann habe ich also:
[mm] \lambda^2 \cdot e^{-\lambda}\summe_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}
[/mm]
Das stinkt ja nun schon nach der E-Funktion. Aber wie kriege ich das mit den Grenzen hingebogen?!
Danke!
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> Bestimmen Sie
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> [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k^2 \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}[/mm]
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> Hallo!
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> Die Aufgabe stammt eigentlich aus der Stochastik, um einen
> Erwartungswert auszurechnen.
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> Joar, ich habe auch eine Idee, wie ich das lösen kann. Aber
> ich komme dann am Ende mit dem Index nicht hin. Also
> erstmal kann ich ja die untere Grenze auf 1 hochschieben.
> Dann kann ich die E-Funktion rausziehen, mit dem [mm]k^2[/mm] kürzen
> und [mm]\lambda^2[/mm] rausziehen, dann habe ich also:
> [mm]\lambda^2 \cdot e^{-\lambda}\summe_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!}[/mm]
>
> Das stinkt ja nun schon nach der E-Funktion. Aber wie
> kriege ich das mit den Grenzen hingebogen?!
Ich glaube nicht, dass Du mit blosser Indexverschiebung durchkommen wirst. Warum nicht einfach den allseits beliebten "Ableitungstrick" zweimal hintereinander anwenden:
[mm]\sum\limits_{k=0}^{\infty}k^2 \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\cdot \lambda\cdot \frac{d}{d\lambda}\sum\limits_{k=0}^{\infty}k \cdot \frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda}\cdot \lambda \cdot \frac{d}{d\lambda}\left(\lambda\cdot \frac{d}{d\lambda}\sum\limits_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!}\right)=\ldots[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:46 Di 01.07.2008 | | Autor: | Wimme |
komisch, in der Übung haben wir das irgendwie hingekriegt.
Deine Methode kenne ich auch nicht. Übrigens ssagt Derive auch, dass ich beim Umformen schon irgendwo einen Fehler gemacht habe...Ganz am Anfang kommt [mm] \lambda^2+\lambda [/mm] raus und am Ende nur noch [mm] \lambda^2.
[/mm]
Kann mir vielleicht nochmal jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:54 Di 01.07.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> komisch, in der Übung haben wir das irgendwie hingekriegt.
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> Deine Methode kenne ich auch nicht. Übrigens ssagt Derive
> auch, dass ich beim Umformen schon irgendwo einen Fehler
> gemacht habe...Ganz am Anfang kommt [mm]\lambda^2+\lambda[/mm] raus
> und am Ende nur noch [mm]\lambda^2.[/mm]
Du hast dich beim Verschieben ein bischen vertan. Mach es in kleinen Schritten. Erst einmal kannst du die e-Funktion herausziehen, dann Kürzen und den Term mit k=0 weglassen, weil er sowieso 0 ist:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}k^2 \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \summe_{k=0}^{\infty}k^2 \frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda} \summe_{k=0}^{\infty}k \frac{\lambda^k}{(k-1)!} = e^{-\lambda} \summe_{k=1}^{\infty}k \frac{\lambda^k}{(k-1)!} [/mm]
Jetzt verschiebst du den Index:
[mm] = e^{-\lambda} \summe_{k=0}^{\infty}(k+1) \frac{\lambda^(k+1)}{k!} = e^{-\lambda} \lambda \summe_{k=0}^{\infty}(k+1) \frac{\lambda^k}{k!}[/mm]
Beachte, dass nun in der Summe der Faktor (k+1) steht; den hast du vermutlich nicht richtig hingeschrieben. Jetzt musst du die Summe in zwei Summen zerlegen:
[mm] = e^{-\lambda} \lambda \summe_{k=0}^{\infty} k \frac{\lambda^k}{k!} + e^{-\lambda} \lambda \summe_{k=0}^{\infty} \frac{\lambda^k}{k!} [/mm]
Kannst du den Rest alleine?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Wimme |
hallo rainer!
Vielen Dank, so habe ich es hinbekommen.
Ich habe aber leider noch immer nicht eingesehen, wo ich meinen Fehler gemacht habe. Könnte mir jemand nochmal genau aufzeigen, was ich in meinem ersten Beitrag nicht machen darf?
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> Bestimmen Sie
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> $ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}k^2 \cdot e^{-\lambda} \cdot \frac{\lambda^k}{k!} [/mm] $
> Also
> erstmal kann ich ja die untere Grenze auf 1 hochschieben.
> Dann kann ich die E-Funktion rausziehen, mit dem $ [mm] k^2 [/mm] $ kürzen
Hallo,
wie kürzt Du da k² gegen was?
Gruß v. Angela
> und $ [mm] \lambda^2 [/mm] $ rausziehen, dann habe ich also:
> $ [mm] \lambda^2 \cdot e^{-\lambda}\summe_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} [/mm] $
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> Das stinkt ja nun schon nach der E-Funktion. Aber wie
> kriege ich das mit den Grenzen hingebogen?!
>
> Danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:38 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Wimme |
du hast recht, habe ich nicht gesehen.
*grml*
totaler quatsch.
Danke für deine Hilfe - ich mache mich gleich wieder an die lineare Algebra - erstmal genug Stochastik ;)
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Hallo Wimme,
> hallo rainer!
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> Vielen Dank, so habe ich es hinbekommen.
> Ich habe aber leider noch immer nicht eingesehen, wo ich
> meinen Fehler gemacht habe. Könnte mir jemand nochmal genau
> aufzeigen, was ich in meinem ersten Beitrag nicht machen
> darf?
In diesem Beitrag ist
[mm] \lambda^2 \cdot e^{-\lambda}\summe_{k=1}^{\infty} \frac{\lambda^{k-2}}{(k-2)!} [/mm]
Der Index k läuft hier von 1, wie ist aber [mm]\left(-1\right)![/mm] definiert?
Und das [mm]k^{2}[/mm] ist auch irgendwo verlorengegangen.
Gruß
MathePower
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