Reihe auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:41 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Hallo!
Muss die folgende Reihe auf Konvergenz prüfen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2k+1} [/mm] .
Hab versucht mit der teleskopischen Reihe :
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2k+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] 2k + 1 - [mm] \bruch{2k}{2k} [/mm] * (2k + 1) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty}\bruch{1}{k^{2}} [/mm] = [mm] \pi^{2}>\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k} [/mm] * (2k + 1) > [mm] \summe_{k=1}^{\infty} [/mm] bruch{1}{2k}*(k + 1) = [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:53 Mo 30.11.2009 | | Autor: | biic |
Einfach mal umstellen:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{2k} [/mm] - [mm] \bruch{1}{2k+1} [/mm] ) = [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{2k+1}{2k(2k+1)} [/mm] - [mm] \bruch{2k}{2k(2k+1)})
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k^2 + 2k}.
[/mm]
Bringt dir das was?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Juliia |
tut mir leid, ich stehe gerade ein bisschen auf den schlauch, was bringt mir das?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Mo 30.11.2009 | | Autor: | biic |
Es ist ja [mm] |\bruch{1}{4k^2 + 2k}| \le \bruch{1}{4k^2} \le \bruch{1}{k^2}.
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert haben wir also eine konvergente Majorante von [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{4k^2 + 2k} [/mm] gefunden und können die Konvergenz der Ausgangsreihe schlussfolgern.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:20 Mo 30.11.2009 | | Autor: | Juliia |
Ja, wir hatten aber diese Majorante noch nicht...
|
|
|
| |
|
Hallo Julia,
ok, wenn Ihr das Majorantenkriterium noch nicht hattet - auch wenn es ja leicht einzusehen ist - was hattet Ihr denn dann? Mit anderen Worten: welche Kriterien darfst Du verwenden?
Ach so - oder hattet Ihr nur die hier benutzte Majorante noch nicht, also den Nachweis, dass [mm] \summe \bruch{1}{k^2} [/mm] konvergiert?
lg
reverend
PS: Deine Teleskopsumme aus dem ersten Post kann ich nicht nachvollziehen. Vielleicht liegt es nur daran, dass ich sie auch kaum lesen kann.
|
|
|
|
