Reihe auf Konvergenz prüfen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 Mi 27.08.2008 | | Autor: | tedd |
| Aufgabe | Prüfen Sie folgende Reihe auf Konvergenz:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}=\bruch{1-0,9^n}{n} [/mm] |
Ich steh hier (mal wieder) ein bisschen auf dem Schlauch:
Hab's mit dem Wurzelkriterium probiert:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{1-0,9^n}{n}}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{\sqrt[n]{1-0,9^n}}{1}
[/mm]
Jetzt krieg ich da den Zähler nicht aufgelöst.
Frage nebenbei:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}0,9^n [/mm] ist doch eine geometrische Reihe oder? Aber ich denke nicht, dass mir das hier weiterhilft.
Danke und Gruß,
tedd
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:48 Mi 27.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Zerlege den Bruch wie folgt und betrachte zwei seperate Reihen:
[mm] $$\bruch{1-0.9^n}{n} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{n}-\bruch{0.9^n}{n}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:04 Mi 27.08.2008 | | Autor: | tedd |
Also so:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{1}{n}}-\limes_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\bruch{0,9^n}{n}}
[/mm]
[mm] =1-\bruch{9}{10}=\bruch{1}{10} [/mm] ?
Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
Nein!! Die Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} [/mm] ist divergent. Das Wurzelkriterium liefert doch [mm] \wurzel[n]{a_n} \to [/mm] 1, also existiert kein q [mm] \in [/mm] (0,1) mit [mm] \wurzel[n]{a_n} \le [/mm] q. Da der Grenzwert gegen 1 geht kannst du mit dem Wurzelkriterium überhaupt keine Aussage über Konvergenz bzw. Divergenz machen!
Die Divergenz kannst du hier mit dem Cauchy-Kriterium nachweisen. Üblicherweise wird das auch in der Vorlesung bewiesen.
Grüße Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:35 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
Hi!
Hat mir Loddar deshalb dazu geraten, 2 einzelne Grenzwerte zu betrachten damit ich sehe [mm] \sqrt[n]{\bruch{1}{n}}=1 [/mm] und ich mir deshalb das Quotientenkriterium keine Aussage gibt über die Konvergenz?
Kann ich die Aufgabe dann mit dem Vergleichskriterium lösen?
Ich habe in der Vorlesung nichts zum Cauchy Kriterium gefunden...
Allerdings komme ich auch auf keinen passenden Majorant/Minorant.
Danke und Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
Mein Tipp zielte darauf hin, dass man durch die Zerlegung sowohl eine konvergente als auch eine divergente Teilreihe erhält .
Denn die Divergenz der "harmonischen Reihe" [mm] $\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{1}{n}$ [/mm] habe ich hier als bekannt vorausgesetzt.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
Und das heisst, dass die ganze Reihe divergiert?
Gruß,
tedd
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Fr 29.08.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo tedd!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Denn wenn Du eine Summe aus einem beschränktem Summanden und einem unbeschränkten Summanden bildest, ist das Ergebnis wieder unbeschränkt; sprich divergent.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:04 Fr 29.08.2008 | | Autor: | tedd |
Okay,
Danke für die Antwort Loddar 
Besten Gruß,
tedd
|
|
|
|
