Reihe, absolute Konvergenz. < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Prüfen Sie auf (absolute) Konvergenz:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^{n+(-1)^{n}})$ [/mm] |
Hallo nochmal ;)
Ich hätte das gerne mit dem Wurzelkriterium versucht:
Die Reihe [mm] $\sum a_k$ [/mm] konvergiert absolut, wenn $lim [mm] \sqrt[k]{|a_k|} [/mm] < 1$.
Für die Reihe, die es zu untersuchen gilt, sei nun [mm] $a_k [/mm] = [mm] \frac{1}{2})^{k+(-1)^{k}}$. [/mm]
Dann ist $lim [mm] \sqrt[k]{|\frac{1}{2})^{k+(-1)^{k}}|} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] *lim [mm] \sqrt[k]{|\frac{1}{2}^{(-1)^{k}}|} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] * lim [mm] (\frac{1}{2})^{1/k} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] $
denn der Exponent $ [mm] \frac{1}{k} [/mm] $ konvergiert gegen 0 für $ k [mm] \to \infty$, [/mm] folglich konvergiert [mm] $\frac{1}{2}^{1/k}$ [/mm] gegen 1.
-> Ich war mir hier schonmal sehr unsicher, ob durch die Betragstriche tatsächlich der Exponent [mm] $(-1)^k$ [/mm] zu [mm] $1^k [/mm] = 1$ wird.
Falls nicht, dann müsste ich das Konvergenzverhalten des 'richtigen' Exponenten untersuchen, der dann hoffentlich so lautet:
[mm] $(-1)^k [/mm] * 1/k$ (durch die k-te Wurzel).
Und $lim [mm] \frac{(-1)^k}{k} [/mm] = 0$; das würde dann am Ergebnis nichts ändern.
Die ganze Reihe sieht irgendwie auch wie eine geometrische Reihe aus, kann man da vielleicht auch was mit einer Majorante machen? Z.b.:
[mm] $\frac{1}{2}^{n+(-1)^{n}} \le [/mm] 2* [mm] (\frac{1}{2})^n$ [/mm] ?
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Hallo Kartoffelchen,
> Prüfen Sie auf (absolute) Konvergenz:
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> [mm]\sum_{n=1}^\infty (\frac{1}{2})^{n+(-1)^{n}})[/mm]
> Hallo
> nochmal ;)
>
> Ich hätte das gerne mit dem Wurzelkriterium versucht:
Das ist eine gute Idee!
>
> Die Reihe [mm]\sum a_k[/mm] konvergiert absolut, wenn [mm]lim \sqrt[k]{|a_k|} < 1[/mm].
Nana, das muss doch lauten:
[mm]\lim\red{sup}\limits_{\red{k\to\infty}}\sqrt[k]{|a_k|}<1[/mm]
>
> Für die Reihe, die es zu untersuchen gilt, sei nun [mm]a_k = \frac{1}{2})^{k+(-1)^{k}}[/mm].
> Dann ist [mm]lim \sqrt[k]{|\frac{1}{2})^{k+(-1)^{k}}|} = \frac{1}{2} *lim \sqrt[k]{|\frac{1}{2}^{(-1)^{k}}|} = \frac{1}{2} * lim (\frac{1}{2})^{1/k} = \frac{1}{2}[/mm]
Furchtbar, mal machst du Klammern, mal nicht ...
Das ist sehr murksig ...
> denn der Exponent [mm]\frac{1}{k}[/mm] konvergiert gegen 0 für [mm]k \to \infty[/mm],
> folglich konvergiert [mm]\frac{1}{2}^{1/k}[/mm] gegen 1.
>
> -> Ich war mir hier schonmal sehr unsicher, ob durch die
> Betragstriche tatsächlich der Exponent [mm](-1)^k[/mm] zu [mm]1^k = 1[/mm]
> wird.
Nein, wieso sollte das so sein?
> Falls nicht, dann müsste ich das Konvergenzverhalten des
> 'richtigen' Exponenten untersuchen, der dann hoffentlich so
> lautet:
> [mm](-1)^k * 1/k[/mm] (durch die k-te Wurzel).
> Und [mm]lim \frac{(-1)^k}{k} = 0[/mm]; das würde dann am Ergebnis
> nichts ändern.
Schaue dir an, was für gerade n (oder k) und was für ungerade n (bzw. k) passiert und berechne den LimSUP - siehe oben
>
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> Die ganze Reihe sieht irgendwie auch wie eine geometrische
> Reihe aus, kann man da vielleicht auch was mit einer
> Majorante machen? Z.b.:
> [mm]\frac{1}{2}^{n+(-1)^{n}} \le 2* (\frac{1}{2})^n[/mm] ?
Jo, das geht auch! Aber es fehlen linkerhand wesentliche Klammern ...
Gruß
schachuzipus
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