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| Aufgabe | Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
a) [mm] \summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k*log k} [/mm] = log log n + O(1) für n [mm] \to \infty
[/mm]
b) [mm] \summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p} \sim \bruch{1}{(p-1)(log n)^{p-1}} [/mm] für alle p > 1, n [mm] \to \infty [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe Probleme beim Aufgabenteil b), weil ich nicht so richtig weiß, wie ich anfangen soll. Teil a) habe ich bewiesen.
Ich weiß, dass [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p} [/mm] konvergiert für alle p > 1. Also geht [mm] \summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p} [/mm] für n [mm] \to \infty [/mm] gegen 0. Die Aussage, die ich nun zeigen soll, ist, dass [mm] \summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p} [/mm] im Unendlichen fast genauso schnell gegen 0 geht, wie [mm] \bruch{1}{(p-1)(log n)^{p-1}} [/mm] für alle p > 1, nur weiß ich nicht, wie ich das angehen soll?
Grüsse
Alex
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Hallo Alex,
eigentlich brauchst du keinen Tipp. Den hast Du selbst über die Aufgabe drübergeschrieben: Reihe abschätzen mit Integral.
> Beweisen Sie die folgenden Aussagen:
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> a) [mm]\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k*log k}[/mm] = log log n + O(1)
> für n [mm]\to \infty[/mm]
>
> b) [mm]\summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p} \sim \bruch{1}{(p-1)(log n)^{p-1}}[/mm]
> für alle p > 1, n [mm]\to \infty[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> ich habe Probleme beim Aufgabenteil b), weil ich nicht so
> richtig weiß, wie ich anfangen soll. Teil a) habe ich
> bewiesen.
Wieso tippst Du ihn dann noch mit ab? 
> Ich weiß, dass [mm]\summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p}[/mm]
> konvergiert für alle p > 1. Also geht
> [mm]\summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p}[/mm] für n [mm]\to \infty[/mm]
> gegen 0. Die Aussage, die ich nun zeigen soll, ist, dass
> [mm]\summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p}[/mm] im Unendlichen
> fast genauso schnell gegen 0 geht, wie [mm]\bruch{1}{(p-1)(log n)^{p-1}}[/mm]
> für alle p > 1, nur weiß ich nicht, wie ich das angehen
> soll?
Bilde mal [mm] \int{\bruch{1}{x(\ln{x})^p}\;dx}.
[/mm]
Das geht sehr einfach mit der richtigen Substitution, und auch die steht im Prinzip schon da.
Grüße
reverend
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Ich komme nicht weiter.
Das habe ich bisher:
Sei p > 1.
Bemerke: [mm] \summe_{k=n}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p} [/mm] nur für n [mm] \ge [/mm] 2 definiert.
Wir wissen aus dem letzten Übungsblatt, dass [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p} [/mm] für alle p > 1 konvergiert.
Definiere f(x) := [mm] \bruch{1}{(x+1)*(log(x+1))^p} [/mm] auf [1, [mm] +\infty). [/mm] f ist monoton fallend und f [mm] \ge [/mm] 0.
Es gilt: [mm] \summe_{k=1}^{\infty}f(k) [/mm] = [mm] \summe_{k=2}^{\infty}\bruch{1}{k(log k)^p}
[/mm]
Da [mm] \summe_{k=1}^{\infty}f(k) [/mm] konvergiert, konvergiert auch [mm] \integral_{1}^{+\infty}{f(x) dx}.
[/mm]
Behauptung: [mm] a_n [/mm] := [mm] \integral_{n}^{+\infty}{f(x) dx} [/mm] ist Nullfolge.
Beweis:
Setze A := [mm] \integral_{1}^{+\infty}{f(x) dx}, b_n [/mm] := [mm] \integral_{1}^{n}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty} b_n [/mm] = A.
[mm] \Rightarrow \integral_{1}^{+\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \integral_{1}^{n}{f(x) dx} [/mm] + [mm] \integral_{n}^{+\infty}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \gdw a_n [/mm] = [mm] \integral_{1}^{+\infty}{f(x) dx} [/mm] - [mm] \integral_{1}^{n}{f(x) dx}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow \infty}a_n [/mm] = A - A = 0
Also [mm] (a_n) [/mm] Nullfolge.
Es gilt (nach passender Substitution): [mm] \integral_{n}^{+\infty}{f(x) dx} [/mm] = [mm] \bruch{1}{p-1}*\bruch{1}{(log(n+1))^{p-1}}
[/mm]
Jetzt weiß ich nicht, wie ich das asymptotische zeigen soll.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:01 Fr 07.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Das Integralkriterium liefert noch die Ungl.
[mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}f(k) \le \integral_{n}^{\infty}{f(x) dx} \le \summe_{k=n}^{\infty}f(k)
[/mm]
FRED
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Hallo FRED,
ich weiß, dass 0 [mm] \le \summe_{k=1}^{\infty}f(k) [/mm] - [mm] \integral_{1}^{+\infty}{f(x) dx} \le [/mm] f(1) gilt (Integralkriterium).
Ich nehme, dass deine Ungleichung aus dieser folgt, aber ich selber komme nicht drauf.
Grüsse
Alex
EDIT:
Ich habe mir mal das Integralkriterium (http://de.wikipedia.org/wiki/Integralkriterium) bei Wikipedia angeschaut. Dies ist aber etwas anders, als das, was ich in der Vorlesung hatte. Bei Wikipedia steht auch deine Ungleichung. Mir ist aber unklar, warum das Integralkriterium bei Wikipedia funktioniert.
Unser Integralkriterium geht so:
Sei f: [1, [mm] +\infty) \to \IR [/mm] eine monoton fallende Funktion mit f [mm] \ge [/mm] 0.
Dann gehört die Folge [mm] a_n [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{n}f(k) [/mm] - [mm] \integral_{1}^{n+1}{f(x) dx} [/mm] zum Intervall [0,f(1)], ist monoton wachsend, und hat damit einen Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow \infty}a_n \in [/mm] [0,f(1)].
Insbesondere konvergiert die Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty}f(k) [/mm] genau dann, wenn das Integral [mm] \integral_{1}^{+\infty}{f(x) dx} [/mm] konvergiert. Im Fall der Konvergenz gilt:
0 [mm] \le \summe_{k=1}^{\infty}f(k) [/mm] - [mm] \integral_{1}^{+\infty}{f(x) dx} \le [/mm] f(1)
EDIT 1:
Okay, der Beweis für das Integralkriterium von Wikipedia funktioniert analog zu dem Beweis von unserem Integralkriterium aus der Vorlesung und jetzt leuchtet auch ein, warum die Ungleichung [mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}f(k) \le \integral_{n}^{\infty}{f(x) dx} \le \summe_{k=n}^{\infty}f(k) [/mm] gilt.
Aus dieser Ungleichung folgt dann aber:
[mm] \summe_{k=n+1}^{\infty}f(k) \le \integral_{n}^{\infty}{f(x) dx} \le \summe_{k=n}^{\infty}f(k)
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 1 = [mm] \bruch{\summe_{k=n+1}^{\infty}f(k)}{\summe_{k=n+1}^{\infty}f(k)} \le \bruch{\summe_{k=n+1}^{\infty}f(k)}{\summe_{k=n}^{\infty}f(k)} \le \bruch{\integral_{n}^{+\infty}{f(x) dx}}{\summe_{k=n}^{\infty}f(k)} \le [/mm] 1.
Also folgt hieraus, dass [mm] \bruch{\integral_{n}^{+\infty}{f(x) dx}}{\summe_{k=n}^{\infty}f(k)} \to [/mm] 1 für n [mm] \to \infty.
[/mm]
Also sind Zähler und Nenner asymptotisch für n [mm] \to \infty.[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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