Reihe Konvergenz von Reihen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie den Wert der folgende Reihe:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2+k}
[/mm]
Hinweis: Zeigen Sie, dass die Partialsummen [mm] s_{n}=\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k^2+k} [/mm] eschrieben werden können als [mm] s_{n}=\bruch{1}{n+1} [/mm]
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Hallöle,
habe gerade hier dei Aufgabe vor mir, aber komm auf keinen Lösungsweg mit dem Hinweis.... ich hätte jetzt das Quotientenkriterium bzw. Wurzelkriterium, hier ersteres, angewendet, aber was soll der Hinweis?
Thx for help
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Hallo Helmut,
jo die Konvergenz kannste mit den üblichen Kriterien zeigen.
Um aber den GW, also den [mm] \underline{Wert} [/mm] der Reihe [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+k}$ [/mm] zu bestimmen, empfiehlt sich der Tipp mit den Partialsummen.
Mache zunächst mal eine Partialbruchzerlegung von [mm] $\frac{1}{k^2+k}=\frac{1}{k(k+1)}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}$
[/mm]
Damit kannste dann [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2+k}$ [/mm] schreiben als [mm] $\sum\limits_{k=1}^{\infty}\left(\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}\right)$
[/mm]
Dann betrachte mal die Partialsummen [mm] $s_n=\sum\limits_{K=1}^n\left(\frac{A}{k}+\frac{B}{k+1}\right)$
[/mm]
Du wirst sehen, dass das ne schöne Teleskopsumme ergibt, in der sich fast alle Summanden rausheben.
Mache dann den Grenzübergang [mm] $n\to\infty$ [/mm] und du erhältst den Reihenwert
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:50 Mo 21.05.2007 | | Autor: | DER-Helmut |
thx!
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