Reihe, Konvergenz o. Divergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Beweisen Sie die Konvergenz bzw. die Divergenz durch geeigneten
Vergleich:
a) [mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{10^k+1} [/mm]
b) [mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{ln(k)} [/mm] |
Hallo zusammen,
hab da ein kleines Problem bei den Aufgaben zu den Reihen.
a) Habe ich gelöst indem ich die bekannte konvergente Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k} [/mm] genommen habe und angegeben habe das [mm] |a_n|<=b_n [/mm] mit [mm] a_n=\bruch{1}{10^n+1} [/mm] und
[mm] b_n=\bruch{1}{2n} [/mm] und daher folgt das [mm] b_n [/mm] konvergente Majorante von [mm] a_n [/mm] ist und daher
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{10^k+1} [/mm] konvergiert
b) Habe ich analog gelöst indem ich die bekannte divergente Reihe [mm] \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k} [/mm] genommen habe und angegeben habe das [mm] a_n>=b_n [/mm] ist mit [mm] a_n= \bruch{1}{ln(n)}
[/mm]
und [mm] b_n= \bruch{1}{n} [/mm] und daher folgt das [mm] b_n [/mm] divergente Minorante von [mm] a_n [/mm] ist und daher
[mm] \summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{ln(k)} [/mm] divergiert.
Meine Frage nun dazu , ist das in Ordnung? Kann ich 2 Reihen zueinander Abschätzen wobei die eine bei k=0 und die andere bei k=2 anfängt?(für mich wäre das logich da es im unendlichen ja kein Unterschied macht ob ich endlich viele Glieder dazu addiere oder abziehe)
Oder muss ich noch etwas beachten?
Vielen Danke,
Tommy
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Hallo Tommy,
dein Vorgehen ist an sich richtig und beruht auf dem Majoranten- oder Vergleichskriterium
> Beweisen Sie die Konvergenz bzw. die Divergenz durch
> geeigneten
> Vergleich:
> a) [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{10^k+1}[/mm]
>
>
> b) [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{ln(k)}[/mm]
> Hallo zusammen,
>
> hab da ein kleines Problem bei den Aufgaben zu den Reihen.
>
> a) Habe ich gelöst indem ich die bekannte konvergente
> Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das ist eine bekannte divergente Reihe, du hast sie weiter unten auch benutzt 
Du kannst doch [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{2k}$ [/mm] schreiben als [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}$
[/mm]
Und wenn [mm] $\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}$ [/mm] gegen [mm] $\infty$ [/mm] divergiert, so tut es [mm] $\frac{1}{2}\cdot{}\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}$ [/mm] auch
> genommen habe und
> angegeben habe das [mm]|a_n|<=b_n[/mm] mit [mm]a_n=\bruch{1}{10^n+1}[/mm]
Vom Prinzip her richtig, finde eine konvergente Majorante, also eine größere Reihe, die konvergent ist, also einen endlichen Reihenwert hat, dann bleibt deiner armen kleineren Ausgangsreihe nichts anderes übrig als auch einen endlichen Wert zu haben, also zu konvergieren
Als Tipp werfe ich mal das Stichwort "geometrische Reihe" in den Raum.
Versuche also deine Reihe zu vergrößern und (naheliegend) gegen eine konvergente geometrische Reihe abzuschätzen
> und
> [mm]b_n=\bruch{1}{2n}[/mm] und daher folgt das [mm]b_n[/mm] konvergente
> Majorante von [mm]a_n[/mm] ist und daher
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{10^k+1}[/mm] konvergiert
>
> b) Habe ich analog gelöst indem ich die bekannte divergente
> Reihe [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Genau!
> genommen habe und
> angegeben habe das [mm]a_n>=b_n[/mm] ist mit [mm]a_n= \bruch{1}{ln(n)}[/mm]
>
> und [mm]b_n= \bruch{1}{n}[/mm] und daher folgt das [mm]b_n[/mm] divergente
> Minorante von [mm]a_n[/mm] ist und daher
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty} \bruch{1}{ln(k)}[/mm] divergiert.
>
> Meine Frage nun dazu , ist das in Ordnung?
(b) ja, (a) nein
> Kann ich 2
> Reihen zueinander Abschätzen wobei die eine bei k=0 und die
> andere bei k=2 anfängt?
Lasse einfach beide Reihen beim gleichen Startwert beginnen, du kannst immer endlich viele(!!) Glieder bei der Reihe wegnehmen oder hinzufügen ohne das Konvergenzverhalten zu ändern
Da eine endliche Summe immer endlich ist, ändert das Wegnehmen oder Hinzufügen von endlich vielen Summanden nix am Konvergenzverhalten (also an der Konvergenz bzw. Divergenz) der Reihe (wohl aber am konkreten Grenz- oder Reihenwert)
> (für mich wäre das logich da es im
> unendlichen ja kein Unterschied macht ob ich endlich viele
> Glieder dazu addiere oder abziehe)
> Oder muss ich noch etwas beachten?
>
> Vielen Danke,
> Tommy
Gruß
schachuzipus
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