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| Aufgabe | Prüfen Sie auf Konvergenz:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \binom{n+2}{n}^{- 1/n}$ [/mm] |
Hat jemand einen Vorschlag, welches Kriterium mir hier weiterhilft? Ab dann versuche ich mein Glück; meine bisherigen Versuche schlagen wieder einmal alle fehl..
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Hallo Kartoffelchen,
diese Aufgabe ist nur eine Drohgebärde und soll Dich beeindrucken.
> Prüfen Sie auf Konvergenz:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \binom{n+2}{n}^{- 1/n}[/mm]
> Hat jemand einen
> Vorschlag, welches Kriterium mir hier weiterhilft?
Ja: das Trivialkriterium. Die aufsummierte Folge muss ja eine Nullfolge sein, damit die Reihe überhaupt konvergieren kann.
> Ab dann
> versuche ich mein Glück; meine bisherigen Versuche
> schlagen wieder einmal alle fehl..
Verwende dabei [mm] \vektor{n+2\\n}^{-\bruch{1}{n}}=\vektor{n+2\\2}^{-\bruch{1}{n}}=\bruch{1}{\wurzel[n]{\bruch{(n+2)(n+1)}{2}}}=\bruch{\wurzel[n]{2}}{\wurzel[n]{n+2}*\wurzel[n]{n+1}}
[/mm]
Nun betrachte den Grenzwert für [mm] n\to\infty. [/mm] Du brauchst dazu vielleicht noch eine Abschätzung (oder zwei), Grenzwertsätze und vielleicht auch das Sandwichkriterium.
Oder, wenn Du es lieber einfacher haben willst, dann zeige, dass die Folge monoton wachsend ist.
edit: oops. Fiel Tehlerveufel heute. Jetzt müsste es endlich stimmen.
Grüße
reverend
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Vielen lieben Dank! Hat mir so schon weitergeholfen. Den Rest kriege ich wunderbar hin :)
Ich hätte da noch eine andere Aufgabe, bei der es auch um Reihenkonvergenz geht:
[mm] $\sum_{n=1}^\infty \frac{n!*2^n}{n^n} [/mm] $
Hier hätte ich nun das Quotientenkriterium herangezogen und erhalte
[mm] $\frac{2^{n+1} * (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} [/mm] * [mm] \frac{n^n}{n!*2^n} [/mm] = [mm] \frac{2n^n}{(n+1)^n} [/mm] = [mm] \frac{2n^n}{n^n*(1+ 1/n)^n} [/mm] = [mm] \frac{2}{(1+1/n)^n}$ [/mm] und bekomme die Abhängigkeit von "n" nicht entfernt.
Und es gilt nicht: [mm] $\frac{2}{(1+1/n)^n} [/mm] < 1 [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1$, was für das Quotientenkriterium aber gegeben sein müsste..
Okay, soviel dazu 
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Hallo,
> Vielen lieben Dank! Hat mir so schon weitergeholfen. Den
> Rest kriege ich wunderbar hin :)
>
> Ich hätte da noch eine andere Aufgabe, bei der es auch um
> Reihenkonvergenz geht:
>
> [mm]\sum_{n=1}^\infty \frac{n!*2^n}{n^n}[/mm]
> Hier hätte ich nun
> das Quotientenkriterium herangezogen und erhalte
>
> [mm]\frac{2^{n+1} * (n+1)!}{(n+1)^{n+1}} * \frac{n^n}{n!*2^n} = \frac{2n^n}{(n+1)^n} = \frac{2n^n}{n^n*(1+ 1/n)^n} = \frac{2}{(1+1/n)^n}[/mm]
> und bekomme die Abhängigkeit von "n" nicht entfernt.
>
Bilde den Grenzwert für [mm] n->\infty
[/mm]
> Und es gilt nicht: [mm]\frac{2}{(1+1/n)^n} < 1 \forall n \ge 1[/mm],
> was für das Quotientenkriterium aber gegeben sein
> müsste..
Das kann man nicht lesen.
EDIT: Doch, man kann es lesen, aber deine Schlussfolgerung ist falsch. Rechne mal nach, das Quotientnekriterium ist hier erfüllt (wie lautet der Grenzwert deines Nenners am Ende?).
Gruß, Diophant
PS: Und vielleicht wäre es doch besser, für jede Frage einen neuen Thread zu starten. So lange jede deiner Fragen mit einem Beitrag beantwortet ist, geht das ja noch, aber wenn es komplizzierter wird, verlieren alle die Übersicht...
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Hallo,
Den hatte ich zuvor auch schon berechnet, der sollte dann bei
[mm] $\frac{2}{\varepsilon}$ [/mm]
liegen
(Grenzwert für $ n [mm] \to \infty [/mm] $ )
Und das Kriterium ist erfüllt, da $0 < [mm] 2/\varepsilon [/mm] < 1$.
Ich dachte nur, am Ende (beim Quotientenkriterium) müsse eine Konstante herauskommen, sodass ich keine Betrachtung für $ n [mm] \to \infty [/mm] $ mehr machen muss bzw. sogar darf.
Gruß,
K.
+ Vielen Dank ;)
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Hallo,
> Hallo,
>
> Den hatte ich zuvor auch schon berechnet, der sollte dann
> bei
> [mm]\frac{2}{\varepsilon}[/mm]
> liegen
> (Grenzwert für [mm]n \to \infty[/mm] )
>
> Und das Kriterium ist erfüllt, da [mm]0 < 2/\varepsilon < 1[/mm].
>
> Ich dachte nur, am Ende (beim Quotientenkriterium) müsse
> eine Konstante herauskommen, sodass ich keine Betrachtung
> für [mm]n \to \infty[/mm] mehr machen muss bzw. sogar darf.
Sei so gut, und lies dir das mit den Konvergenzkriterien für Reihen nochmal ausführlich durch. Auf ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia bspw. steht die Formulierung, dass der Quotient für fast alle n kleiner gleich q<1 sein muss. Diese Formulierung fast alle muss man einmal vertsanden haben. Sie bedeutet einfach, dass eine bestimmte Aussage/ein bestimmter Sachverhalt ab einem gewissen n für alle nachfolgenden Glieder gültig ist.
Von der Folge [mm] e_n=\left(1+\bruch{1}{n}\right)^n [/mm] weiß man, dass sie monoton wachsend ist. Also ist dein Quotient monoton fallend. Du musst also nichts mehr weiter tun, als dir irgendein q mit
[mm] \bruch{2}{e}
auszusuchen und dir klarzumachen, dass es ein [mm] N\in\IN [/mm] gibt, ab dem alle Quotienten kleiner sind.
Gruß, Diophant
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