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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:44 Di 10.06.2008 | | Autor: | moomann |
| Aufgabe | Konvergiert die Reihe
[mm] \summe_{k=1}^{n} \left( \bruch{1}{n}\right)^{1+\bruch{1}{n}}? [/mm] |
Hallo!
Ich meine, schon herausgefunden zu haben, dass die Reihe divergiert, aber bin bisher an einem Beweis gescheitert.
Hat jemand einen Tipp?
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> Konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \left( \bruch{1}{n}\right)^{1+\bruch{1}{n}}?[/mm]
>
> Hallo!
> Ich meine, schon herausgefunden zu haben, dass die Reihe
> divergiert, aber bin bisher an einem Beweis gescheitert.
Also, mit anderen Worten, Du hast ein Anfangsstück der Reihe ausgerechnet?
An welche divergente Reihe erinnert Dich diese Reihe denn? - Doch wohl an die harmonische Reihe [mm] $\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}$, [/mm] nicht? Die Frage ist nun, welchen Einfluss der Exponent [mm] $1+\frac{1}{n}$ [/mm] für grosse $n$ hat.
Wie steht es mit dem Limes des Verhältnisses von [mm] $\left(\frac{1}{n}\right)^{1+1/n}$ [/mm] und [mm] $\frac{1}{n}$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$?
[/mm]
Ich glaube dieser Limes ist $1$ (betrachte dazu etwa den Limes des Logarithmus dieses allgemeinen Folgengliedes). Also muss für jedes noch so kleine [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ab einem gewissen [mm] $n_0$ [/mm] die Ungleichung
[mm](1-\varepsilon)\cdot\frac{1}{n}< \left(\frac{1}{n}\right)^{1+1/n}[/mm]
gelten. Wähle hier einfach [mm] $\varepsilon$ [/mm] kleiner als $1$ (damit [mm] $1-\varepsilon>0$ [/mm] ist): dann hast Du gezeigt, dass [mm] $\sum_{n=n_0}^\infty \frac{1}{n}$ [/mm] eine nach [mm] $+\infty$ [/mm] divergente Minorante des entsprechenden Reststücks der gegebenen Reihe ist. Also ist die gegebene Reihe divergent.
Eventuell kannst Du sogar ein solches [mm] $n_0$ [/mm] explizit angeben, aber da bloss über Divergenz oder Konvergenz entschieden werden muss, wäre mir dies an Deiner Stelle eher zuviel der Mühe.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:50 Di 10.06.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Konvergiert die Reihe
> [mm]\summe_{k=1}^{\blue{n}} \left( \bruch{1}{\blue{n}}\right)^{1+\bruch{1}{\blue{n}}}?[/mm]
prüfe bitte nochmal, ob Du wirklich diese Reihe meinst, denn es gilt für das von Dir notierte:
[mm] $(\star)$ $\summe_{k=1}^{n} \left( \bruch{1}{n}\right)^{1+\bruch{1}{n}}=n*\left(\frac{1}{n}\right)^{1+\frac{1}{n}}=\left(\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}=\frac{1}{\sqrt[n]{n}} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$
[/mm]
(Ich setze voraus, dass Dir die Rechenregeln für endlich viele konvergente Folgen bekannt sind und dass zudem aus der Vorlesung bzw. Übung bekannt ist, dass [mm] $\sqrt[n]{n} \to [/mm] 1$ bei $n [mm] \to \infty$.)
[/mm]
Ich vermute, es geht um
[mm] $\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k}\right)^{1+\frac{1}{k}}$
[/mm]
Dann geht es so, wie oben schon beschrieben, ich würde Dir aber folgenden Weg empfehlen:
[mm] $\left(\frac{1}{k}\right)^{1+\frac{1}{k}}=\frac{1}{k}*\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}}$
[/mm]
Wie oben in [mm] $(\star)$ [/mm] erkennst Du dann, dass [mm] $\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}} \to [/mm] 1$ bei $k [mm] \to \infty$. [/mm] Insbesondere gibt es dann zu [mm] $\varepsilon:=\frac{1}{2} [/mm] > 0$ ein [mm] $k_0=k_0(\varepsilon) \in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}} \in \left(1-\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}\right)$ [/mm] für alle $k [mm] \ge k_0$, [/mm] also insbesondere gilt dann [mm] $\frac{1}{k}*\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}} [/mm] > [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{k}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge k_0$ [/mm] und damit
[mm] $\frac{1}{k}*\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}} [/mm] > [mm] \frac{1}{2}*\frac{1}{k}$ [/mm] für alle $k [mm] \ge k_0$
[/mm]
Was ist die Konsequenz für das Restglied
[mm] $\sum_{k=k_0+1}^\infty \left(\frac{1}{k}\right)^{1+\frac{1}{k}} \equiv \sum_{k=k_0+1}^\infty \frac{1}{k}*\left(\frac{1}{k}\right)^{\frac{1}{k}}$?
[/mm]
Was folgt damit für [mm] $\sum_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{k}\right)^{1+\frac{1}{k}}$?
[/mm]
P.S.:
Der Weg ist natürlich genau der gleiche, wie von Somebody vorgeschlagen, aber es ist schon sinnvoll, hier das [mm] $\varepsilon \in [/mm] (0,1)$ konkret zu wählen. Ich habe halt [mm] $\varepsilon=\frac{1}{2}$ [/mm] vorgeschlagen, Somebody läßt es halt allgemeiner, weil Du genausogut auch [mm] $\varepsilon=\frac{\pi}{4}$ [/mm] oder wie auch immer hättest wählen können (einzige Bedingung: es muss $0 < [mm] \varepsilon [/mm] < 1$ sein). Aber ich finde, wenn man eine "konkrete" divergente Minorante angeben kann, sollte man das auch tun. Gerade in Anfangssemestern ist es vll. eher verwirrend, dass [mm] $\varepsilon \in [/mm] (0,1)$ beliebig, aber fest, zu lassen...
Gruß,
Marcel
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