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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Do 05.11.2009 | | Autor: | Steirer |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
a)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n+11)(-28)^{n+2}}{(2n)!*(3n+1)}
[/mm]
b)
[mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{n}*(n!)}{(2n)!} [/mm] |
Ich habe versucht beide mit dem Quotientenkriterium zu lösen. Leider bin ich mir nicht ganz sicher ob das so funktioniert bzw. wie ich weitermachen soll.
Qk:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|
[/mm]
der einfachheit halber lasse ich jetzt den limes und den betrag weg.
a)
[mm] \bruch{(n+12)(-28)^{n+3}}{(2n+1)!*(3n+2)}*\bruch{(2n)!*(3n+1)}{(n+11)(-28)^{n+2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+12)(-28)^{n+2}*(-28)}{(2n)!*(2n+1)*(3n+2)}*\bruch{(2n)!*(3n+1)}{(n+11)(-28)^{n+2}}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+12)*(-28)}{(2n+1)*(3n+2)}*\bruch{(3n+1)}{(n+11)}
[/mm]
nach dem Ausmultiplizieren erhalte ich:
[mm] =\bruch{-84n^{2}-1036n-336}{6n^{3}+7n^{2}+22}
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{-84n^{2}-1036n-336}{6n^{3}+7n^{2}+22}|
[/mm]
[mm] =\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{-84n^{2}}{n^3}-\bruch{1036n}{n^3}-\bruch{336}{n^3}}{6+\bruch{7n^{2}}{n^3}+\bruch{22}{n^3}}|
[/mm]
[mm] =\bruch{0}{6} [/mm] = 0
d.h. die Reihe ist kovergent.
b)
[mm] \bruch{(n+1)^{n+1}*((n+1)!)}{(2n+1)!}*\bruch{(2n)!}{n^{n}*(n!)}
[/mm]
nach kürzen der Fakultäten bleibt mir:
[mm] =\bruch{(n+1)^{n+1}*(n+1)*(n+1)}{(2n+1)*n^{n}}
[/mm]
Kann mir jemand sagen wie es da weitergeht?
danke
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:20 Do 05.11.2009 | | Autor: | iks |
> Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz.
>
> a)
>
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(n+11)(-28)^{n+2}}{(2n)!*(3n+1)}[/mm]
>
> b)
> [mm]\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{n^{n}*(n!)}{(2n)!}[/mm]
> Ich habe versucht beide mit dem Quotientenkriterium zu
> lösen. Leider bin ich mir nicht ganz sicher ob das so
> funktioniert bzw. wie ich weitermachen soll.
>
> Qk:
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm]
>
> der einfachheit halber lasse ich jetzt den limes und den
> betrag weg.
>
na dann hätt ich als erstes die $(-1)$ auch ausgeklammert dann ist die lästige $(-28)$ auch weg.
> a)
>
> [mm]\bruch{(n+12)(-28)^{n+3}}{(2n+1)!*(3n+2)}*\bruch{(2n)!*(3n+1)}{(n+11)(-28)^{n+2}}[/mm]
>
Der Weg stimmt so weit erst mal. Allerdings habe ich nach dem ersten Fehler aufgehört weiter nachzurechnen
!! [mm] $(3(n+1)+1)=(3n+4)\neq(3n+2)$!!!
[/mm]
> [mm]=\bruch{(n+12)(-28)^{n+2}*(-28)}{(2n)!*(2n+1)*(3n+2)}*\bruch{(2n)!*(3n+1)}{(n+11)(-28)^{n+2}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{(n+12)*(-28)}{(2n+1)*(3n+2)}*\bruch{(3n+1)}{(n+11)}[/mm]
>
> nach dem Ausmultiplizieren erhalte ich:
> [mm]=\bruch{-84n^{2}-1036n-336}{6n^{3}+7n^{2}+22}[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{-84n^{2}-1036n-336}{6n^{3}+7n^{2}+22}|[/mm]
>
> [mm]=\limes_{n\rightarrow\infty}|\bruch{\bruch{-84n^{2}}{n^3}-\bruch{1036n}{n^3}-\bruch{336}{n^3}}{6+\bruch{7n^{2}}{n^3}+\bruch{22}{n^3}}|[/mm]
>
Das mit dem Ausmultiplizieren hätte ich mir geschenkt. Den Nenner großzügig durch [mm] $n^3$ [/mm] abschätzen geht schneller und ist genauso wirksam.
> [mm]=\bruch{0}{6}[/mm] = 0
> d.h. die Reihe ist kovergent.
>
> b)
>
> [mm]\bruch{(n+1)^{n+1}*((n+1)!)}{(2n+1)!}*\bruch{(2n)!}{n^{n}*(n!)}[/mm]
>
Hier der gleiche Fehler wie oben: im Nenner steht $(2(n+1))!=(2n)!(2n+1)(2n+2)$
Somit bleibt, falls sich bei mir kein Fehler einschlich, nach dem kürzen
[mm] $\frac{(n+1)^2*(n+1)^n}{(2n+1)(2n+2)n^n}$
[/mm]
> nach kürzen der Fakultäten bleibt mir:
>
> [mm]=\bruch{(n+1)^{n+1}*(n+1)*(n+1)}{(2n+1)*n^{n}}[/mm]
>
> Kann mir jemand sagen wie es da weitergeht?
>
> danke
mFg iks
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:58 Fr 06.11.2009 | | Autor: | Steirer |
$ [mm] \frac{(n+1)^2\cdot{}(n+1)^n}{(2n+1)(2n+2)n^n} [/mm] $
wobei ich mir jetzt nicht sicher bin ob das divergent oder konvergent ist.
d.h. ich bin mir beim Weiterrechnen nicht sicher.
Vieleicht hat jemand einen Tipp.
=1 ist es ja nicht also hat das QK funktioniert.
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Fr 06.11.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \frac{(n+1)^2\cdot{}(n+1)^n}{(2n+1)(2n+2)n^n}= \bruch{(n+1)^2}{(2n+1)(2n+2)}(1+\bruch{1}{n})^n \to \bruch{e}{4} [/mm] ( n [mm] \to \infty)$
[/mm]
FRED
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