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Forum "Folgen und Reihen" - Reihe- Konvergenz zeigen
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Reihe- Konvergenz zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:40 Mi 05.01.2011
Autor: UNR8D

Aufgabe
Untersuchen Sie die Reihe
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}} [/mm]
auf Konvergenz. Bestimmen Sie ggf. den Grenzwert.

Hi,
ich komme bei dieser Aufgabe leider nicht recht weiter.

Wenn man die Konvergenz gezeigt hat, darf man die Summe ja aufteilen, bekommt zwei geometrische Reihen und einen Grenzwert von 9 1/3.

Leider schaff ichs aber nicht die Konvergenz zu zeigen.
Man könnte abschätzen :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}} \le \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{2^{n-1}}, [/mm] aber ich weis auch hier nicht wie ich konkret die Konvergenz zeigen kann. Kann man irgendwie zeigen, dass die Partialsummen eine Cauchyfolge geben?

Vielen Dank für eure Mühe!



        
Bezug
Reihe- Konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:50 Mi 05.01.2011
Autor: leduart

Hallo
du hast doch schon richtig durch eine beinahe  geom Reihe abgeschätzt, deren Summe du sogar hinschreiben kannst?
Gruss leduart



Bezug
        
Bezug
Reihe- Konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Mi 05.01.2011
Autor: Gonozal_IX

Huhu,

> Wenn man die Konvergenz gezeigt hat, darf man die Summe ja
> aufteilen, bekommt zwei geometrische Reihen und einen
> Grenzwert von 9 1/3.

du kannst das Pferd doch auch von hinten aufzäumen.
Du weißt, die Einzelsummen konvergieren, also doch auch die Gesamtsumme!

MFG,
Gono.

Bezug
                
Bezug
Reihe- Konvergenz zeigen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:03 Mi 05.01.2011
Autor: UNR8D

Danke für eure Antworten

>>du hast doch schon richtig durch eine beinahe  geom Reihe abgeschätzt, deren Summe du sogar hinschreiben kannst? <<

Du meinst mit [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{2^{n-1}} [/mm] = 6* [mm] \summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^n [/mm] = 12 ?

>>du kannst das Pferd doch auch von hinten aufzäumen.
Du weißt, die Einzelsummen konvergieren, also doch auch die Gesamtsumme!<<

Darf ich denn [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}} [/mm] auseinanderziehen zu [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^{n-1}} [/mm] + [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch {(-1)^n}{2^{n-1}} [/mm] ohne zu wissen, dass die Reihe konvergiert?

Dachte, dass ich sone Summe nicht auseinanderziehen darf, wenn ich nicht weis, dass sie nicht divergent ist und hab mich heute in der Uni auch bestätigt gefühlt. Deswegen bin ich unsicher was ich mit den Dingern machen darf bevor ich gezeigt habe, dass sie konvergieren. Darf ich die Summe wirklich aufteilen, den Grenzwert berechnen und daraus schließen dass auch die Ausgangssumme wirklich konvergiert?

Hab leider nicht gefunden wie ich Zitate von verschiedenen Leuten einbaue.

Bezug
                        
Bezug
Reihe- Konvergenz zeigen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:11 Mi 05.01.2011
Autor: schachuzipus

Hallo UNR8D,

> Danke für eure Antworten
>
> >>du hast doch schon richtig durch eine beinahe geom Reihe
> abgeschätzt, deren Summe du sogar hinschreiben kannst? <<
>
> Du meinst mit [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{3}{2^{n-1}}[/mm] = 6* [mm]\summe_{n=0}^{\infty} (\bruch{1}{2})^n[/mm] = 12 ?

Ja, das ist eine obere Schranke für den Wert deiner Ausgangsreihe

>
> >>du kannst das Pferd doch auch von hinten aufzäumen.
> Du weißt, die Einzelsummen konvergieren, also doch auch
> die Gesamtsumme!<<
>
> Darf ich denn [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2+(-1)^n}{2^{n-1}}[/mm]
> auseinanderziehen zu [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{2}{2^{n-1}}[/mm] + [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch {(-1)^n}{2^{n-1}}[/mm] ohne zu
> wissen, dass die Reihe konvergiert?

Du darfst es machen, weil die beiden "Teilreihen" konvergieren.

Damit konvergiert auch die Summe (also deine Ausgangsreihe) und das gegen die Summe der beiden "Teilreihen"werte.

>
> Dachte, dass ich sone Summe nicht auseinanderziehen darf,
> wenn ich nicht weis, dass sie nicht divergent ist und hab
> mich heute in der Uni auch bestätigt gefühlt. Deswegen
> bin ich unsicher was ich mit den Dingern machen darf bevor
> ich gezeigt habe, dass sie konvergieren. Darf ich die Summe
> wirklich aufteilen, den Grenzwert die Grenzwerte der beiden "Teilreihen" berechnen und daraus
> schließen dass auch die Ausgangssumme wirklich
> konvergiert?

[ok]

Es ist doch wie mit den Rechenregeln für konvergente Folgen ....

Da zäumst du das Pferd doch auch oftmals von hinten auf.

>
> Hab leider nicht gefunden wie ich Zitate von verschiedenen
> Leuten einbaue.

Du kannst immer nur aus dem post zitieren, zu dem du gerade eine Frage/Mitteilung schreibst ...

Gruß

schachuzipus


Bezug
                                
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Reihe- Konvergenz zeigen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 19:39 Mi 05.01.2011
Autor: UNR8D

Ok, vielen Dank für eure Hilfe, hat mir sehr geholfen :)

wünsch euch nen schönen Abend,
lg UNR8D

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