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| Aufgabe | Ein Eishockeypuck gleitet unter dem Einfluss der Reibungskraft [mm] F(v)=\alpha +\beta v^2 [/mm] über das Eis. Der Spieler spielt den Puck mit einer Anfangsgeschwindigkeit [mm] x_{0}.
[/mm]
a) Nach welcher Zeit [mm] t_{0} [/mm] bleibt der Puck liegen? Wie lange dauert das höchstens im Fall [mm] v_{0} \to \infty? [/mm] |
Hallo zusammen,
ich komme grade noch nicht so richtig damit klar eine Gleichung dafür aufzustellen, die ich kann nach t auflösen könnte...
Anders formuliert ist doch einfach die Zeit gesucht, nach der [mm] v_{0}=0 [/mm] ist.
Ich habe als „bremsenden Parameter“ die Kraft F(v) gegeben, die der Geschwindigkeit entgegen wirkt.
Was für eine Art Gleichung muss ich hier aufstellen?
Eine Bewegungsgleichung der Form m*a=F1-F2?
Wenn ja, wie mache ich das, ich kenne doch dann nur die Reibungskraft F(v) und eine Anfangsgeschwindigkeit [mm] v_{0}, [/mm] was ja keine Kraft ist...
Wäre für Denkanstöße sehr dankbar!
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:02 Sa 27.11.2010 | | Autor: | chrisno |
Bewegungsgleichung (Differentialgleichung) ist das richtige Stichwort. $F = m [mm] \cdot \dot{v} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta v^2$
[/mm]
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Ist, "m [mm] \cdot \dot{v} [/mm] = [mm] \alpha [/mm] + [mm] \beta v^2“ [/mm] dann schon die aufzustellende Bewegungs/Differentialgleichung?
Wie komme ich dadurch nun auf die geforderte Zeit?
Wenn ich Integriere bekomme ich doch anstatt der Geschwindigkeit den Weg, aber inwiefern bringt mich das weiter?
Könnte mir vllt jemand noch einen Tipp dahingehend geben?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:47 So 28.11.2010 | | Autor: | Infinit |
Hallo Theoretix,
anscheinend hast Du den kleinen Punkt über der DGL von chrisno übersehen, denn der beinhaltet ja die Zeitabhängigkeit, die Du suchst. Außerdem schmeisst Du munter die aktuellen Werte für die Geschwindigkeit mit den Anfangsbedingungen durcheinander. Bleibe doch bei der Geschwindigkeitsbezeichnung v für die aktuelle Geschweindigkeit, und dann steht da die DGL
[mm] m \cdot \bruch{dv}{dt} = \alpha + \beta v^2 [/mm].
Diese DGL ist zu lösen unter der Randbedingung
[mm] v = x_0 [/mm] zum Zeitpunkt [mm] t = 0 [/mm].
Viel Spaß dabei,
Infinit
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Da wir jetzt so ziemlich das erste mal mit Differentialgleichungen konfrontiert sind, hab ich zum Lösen selber noch ein paar Fragen:
Wenn ich [mm] m*\bruch{dv}{dt}=\alpha+\beta v^2 [/mm] nach der Zeit auflösen möchte, weil die ja gesucht ist, wie gehe ich vor?
Es liegt doch eine Diff.gl. 1. Ordnung vor, oder?
Wie muss ich die Gleichung zunächst umsortieren, dass ich integrieren kann und was sollte ich dann evt substituieren?
Liebe Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:17 So 28.11.2010 | | Autor: | Sauhond |
Nach dt auflösen und dann integrieren von v0 nach 0, mit Hilfe der Formel, die in der Vorlesung gezeigt wurde am Freitag (kommt dann was mit arctan raus) ;)
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Hallo zusammen, es geht jetzt darum folgendes Integral zu lösen:
Ich habe die DGL:
[mm] m*\bruch{dv}{dt}=-(\alpha+\beta v^2)
[/mm]
Nach Seperation der Variablen:
[mm] \bruch{dv}{\alpha+\beta v^2}=\bruch{dt}{m}
[/mm]
Das möchte lösen (um im Endeffekt die Grenzen für v und t einsetzen zu können und t bestimmen zu können)
Leider bin ich beim Thema Variablensubstitution noch nicht sehr sattelfest und bräuche ein paar Tipps, wie ich hier anfangen muss. Denn direkt lösen, lässt sich dieses Integral wohl nicht?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Di 25.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zur Substitution: du kannst [mm] 1/(1+x^2) [/mm] integrieren? (arctanx)
also musst du [mm] 1/(a+bv^2)=1/a*1/(1+b/av^2) [/mm] auf die form bringen. da bleibt nur die Substitutuon [mm] x^2=b/a*v^2
[/mm]
gruss leduart
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Danke für die Antwort, das hilft!
Wie läuft das denn mit Integrationsgrenzen anpassen?
Ich habe doch jetzt durch die Substitution folgendes Integral [mm] x^2=\bruch{\beta}{\alpha}*v^2 \Rightarrow \integral_{a}^{b}{\bruch{1}{\alpha}\bruch{1}{1+x^2} dx}=\bruch{1}{\alpha}\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+x^2} dx}
[/mm]
Ich kann doch jetzt nicht einfach über x0 bis x integrieren oder? Muss ich irgendwie die Grenzen anpassen? Oder kann ich das einfach integrieren uns muss nachher wieder rücksubstituieren?
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Di 25.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.die Substitution ist falsch
da ja [mm] dx\nedv, [/mm] sieh dir nochmal Substitutionsregeln an.
2. wenn von v=a bis b integriert wird dann von [mm] x=\wurzel{\alpha/\beta}*v [/mm] von [mm] x=\wurzel{\alpha/\beta}*a [/mm] bis [mm] \wurzel{\alpha/\beta}*b
[/mm]
oder du substituierst am ende einfach zurück und berechnest nur das allgemeine integral.
gruss leduart
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