Reguläre Seckseck < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:42 Fr 14.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo Matheraum!
Komme an einer meiner Übungshausaufgaben nicht weiter.
Aufgabe:
Betrachte das reguläre Sechseck [mm] \summe [/mm] mit den Ecken { [mm] \vektor{cos \bruch{k\pi }{3} \\ sin \bruch{k\pi }{3}} [/mm] | k= 1,...,6 } in der Ebene [mm] \IR^2 [/mm] . Bestimme alle Abbildungen F [mm] \in End(\IR^2) [/mm] so dass [mm] F(\summe)= \summe [/mm] . Welche davon sind in O(2), welche in SO(2) ?
(Definiert sind O(n):= {A [mm] \in [/mm] GL (n; [mm] \IR) [/mm] : [mm] A^{-1} [/mm] = [mm] A^T [/mm] } und SO(n):= {A [mm] \in [/mm] M(n; [mm] \IR) [/mm] | [mm] AA^T [/mm] = [mm] E_n [/mm] , det A =1})
Ich wäre für Vorschläge und Ideen dankbar.
Gruß
Tito
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:36 Fr 14.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Tito
Welche geometrischen Abbildungen bilden ein 6-Eck auf sich ab.
Das sind Drehungen und Spiegelungen. Diese Erzeugen die Diedergruppe des 6-Eck (diese Gruppe hat 12 Elemente). Es genügt eine Spiegelung und eine Drehung um 60°, um die Gruppe zu erzeugen. Dann Produkte bilden (immer von der geometrischen Anschauung ausgehenj  .
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:38 Sa 15.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo!
Danke moudi!
Ok, ich habe mir ein regläres 6eck aufgezeichnet und geschaut was bei Drehungen und Spiegelungen passiert, nun ist mir das auch einigermaßen klar mit den Spiegelungen und Drehungen, aber mein Problem ist wie gehe ich an diese Aufgabe ran.
Wie bestimme ich denn so eine Abbildung, z.B. für eine Drehung und wie zeige ich, dass sie in der Menge O(2) oder SO(2) liegt?
Gruß
Tito
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:27 Di 18.01.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Tito
Ich war gerade ein paar Tage beschäftigt. Ich hoffe die Antwort nützt die trotzdem noch was.
Betrachten wir zuerst die Spiegelung an der x-Achse. Du möchtest gerne eine Matrix für diese Spiegelung aufstellen. (Es ist übrigens wichtig, dass die Spiegelachse durch den Koordinatenursprung geht, sonst wäre die Spiegelung keine lineare Abbildung mehr, sondern nur noch eine affine Abbildung.)
Betrachte die Vektoren [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] und [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] also die Standardbasis. Auf welche Vektoren werden diese abgebildet?
[mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] bleibt invariant und [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] wird auf [mm] $\vektor{0 \\ -1}$ [/mm] abgebildet. Die Bildvektoren sind nun die Kolonnen der Abbildungsmatrix A. Es gilt daher
[mm] $A=\pmat{ 1 & 0 \\ 0 & -1 }$.
[/mm]
Die Abbildungsmatrix ist eine orthogonale Matrix mit Determinante -1, deshalb gilt [mm] $A\in \mathrm [/mm] O(2)$.
Jetzt schau dir die Drehung um [mm] $\frac{\pi}{3}\,(=60°)$ [/mm] an. (Auch hier gilt, es ist nur deshalb eine lineare Abbildung, wenn das Drehzentrum der Koordinatenursprung ist, sonst ist es nur eine affine Abbildung). Wieder muss du herausfinden auf welche Vektoren die Standardbasis abgebildet wird. Der Vektor [mm] $\vektor{1 \\ 0}$ [/mm] wird auf den Vektor [mm] $\vektor{\cos(\frac{\pi}{3}) \\ \sin(\frac{\pi}{3})}=\vektor{\frac12 \\ \frac{\sqrt3}{2}}$ [/mm] abgebildet (dazu ist ein bisschen Trigonometrie notwendig) der Vektor [mm] $\vektor{0 \\ 1}$ [/mm] wird auf [mm] $\vektor{-\sin(\frac{\pi}{3}) \\ \cos(\frac{\pi}{3})}=\vektor{-\frac{\sqrt3}{2} \\ \frac12}$ [/mm] abgebildet. Die Drehmatrix B ist daher gleich
[mm] $B=\pmat{\cos(\frac{\pi}{3}) & \sin(\frac{\pi}{3}) \\ -\sin(\frac{\pi}{3}) & \cos(\frac{\pi}{3})}$.
[/mm]
Die Matrix B ist eine orthogonale Matrix mit Determinante 1, deshalb gilt [mm] $B\in\mathrm{SO}(2)$.
[/mm]
Alle weiteren Matrizen erhältst du durch Produkte der Matrizen A und B.
mfG Moudi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:37 Di 18.01.2005 | | Autor: | Tito |
Hallo und danke moudi!
Mit der Spiegelung hatte ich auch so wie du hinbekommen, aber gut dass du das mit der Drehung auch notiert hast da hatte ich ein Fehler, danke.
Gruß
Tito
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