Reguläre Flächen -Gradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi,
ich habe zu regulären Flächen folgenden Satz.
Sei [mm] V_0\subset \IR^3 [/mm] offen, sei [mm] f:V_0 \to \IR [/mm] eine glatte Funktion. Wir setzen
[mm] S:=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | f(x,y,z)=0 \}. [/mm] Falls für alle p [mm] \in [/mm] S gilt
grad [mm] f(q)\not=(0,0,0),
[/mm]
dann ist S eine reguläre Fläche.
Achtung: Ist uns S in der Form [mm] S:=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | f(x,y,z)=0 \} [/mm] gegeben, so ist das Nichtverschwinden von grad f längs eine hinreichende Bedingung dafür, dass S eine reguläre fläche ist, aber keine notwendige.
1. Frage: Der Satz, der wurde ja bewiesen, aber wieso sagen die dann, dass es nur eine hinreichende, aber keine notwendige Bedingung ist? D.h. es geht ja doch nicht immer, oder? Das zeigen die nämlich auch an folgendem Beispiel:
Wir können z.B. die Sphäre [mm] S=S^2 [/mm] auch so schreiben:
[mm] S^2=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | (x^2+y^2+z^2-1)^2=0 \}, [/mm]
d.h. als Nullstellengebilder der Funktion
[mm] f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1)^2
[/mm]
Für den Gradienten von f gilt
grad [mm] f(x,y,z)=2(x^2+y^2+z^2-1)(2x,2y,2z).
[/mm]
Wir sehen, dass grad f(x,y,z) sogar für alle [mm] p\in S^2 [/mm] verschwindet. Trotzdem ist [mm] S^2 [/mm] eine reguläre Fläche, die beschreibende Funktion f war lediglich ungeschickt gewählt.
2. Frage: Die 2-Sphäre, also [mm] S^2 [/mm] ist ja eigentlich so definiert [mm] S^2=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | x^2+y^2+z^2=1 \}. [/mm] Betrachten die hier im Beispiel aber
[mm] (S^2)^2?? [/mm] Da ja die Funktion f(x,y,z) jetzt als [mm] f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1)^2 [/mm] geschrieben wird?#
3. Frage: Wieso verschwindet denn der Gradient von f überall?? Wir haben doch grad [mm] f(x,y,z)=2(x^2+y^2+z^2-1)(2x,2y,2z) [/mm] und das ist doch nicht (0,0,0) oder??
Hoffe, ihr könnt mir bei diesen Fragen helfen.
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:45 Mi 21.09.2011 | | Autor: | hippias |
> Hi,
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> ich habe zu regulären Flächen folgenden Satz.
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> Sei [mm]V_0\subset \IR^3[/mm] offen, sei [mm]f:V_0 \to \IR[/mm] eine glatte
> Funktion. Wir setzen
>
> [mm]S:=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | f(x,y,z)=0 \}.[/mm] Falls für alle
> p [mm]\in[/mm] S gilt
>
> grad [mm]f(q)\not=(0,0,0),[/mm]
>
> dann ist S eine reguläre Fläche.
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>
> Achtung: Ist uns S in der Form [mm]S:=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | f(x,y,z)=0 \}[/mm]
> gegeben, so ist das Nichtverschwinden von grad f längs
> eine hinreichende Bedingung dafür, dass S eine reguläre
> fläche ist, aber keine notwendige.
>
> 1. Frage: Der Satz, der wurde ja bewiesen, aber wieso sagen
> die dann, dass es nur eine hinreichende, aber keine
> notwendige Bedingung ist? D.h. es geht ja doch nicht immer,
> oder?
Das Beispiel soll zeigen, dass das $f$ aus der Definition von $S$ nicht immer die beste Wahl sein muss, um die Regularitaet nachzupruefen, also fuer einige definierende Funktionen die Bedingung erfuellt sein kann, fuer andere aber nicht, obwohl es sich um die gleiche Menge handelt.
> Das zeigen die nämlich auch an folgendem Beispiel:
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> Wir können z.B. die Sphäre [mm]S=S^2[/mm] auch so schreiben:
>
> [mm]S^2=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | (x^2+y^2+z^2-1)^2=0 \},[/mm]
>
> d.h. als Nullstellengebilder der Funktion
>
> [mm]f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1)^2[/mm]
>
> Für den Gradienten von f gilt
>
> grad [mm]f(x,y,z)=2(x^2+y^2+z^2-1)(2x,2y,2z).[/mm]
>
> Wir sehen, dass grad f(x,y,z) sogar für alle [mm]p\in S^2[/mm]
> verschwindet. Trotzdem ist [mm]S^2[/mm] eine reguläre Fläche, die
> beschreibende Funktion f war lediglich ungeschickt
> gewählt.
>
>
> 2. Frage: Die 2-Sphäre, also [mm]S^2[/mm] ist ja eigentlich so
> definiert [mm]S^2=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | x^2+y^2+z^2=1 \}.[/mm]
> Betrachten die hier im Beispiel aber
>
> [mm](S^2)^2??[/mm] Da ja die Funktion f(x,y,z) jetzt als
> [mm]f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1)^2[/mm] geschrieben wird?#
>
Nein, unter [mm] $(S^2)^2$ [/mm] wuerde ich eher ein cartesisches Produkt verstehen. Beide Mengen, obwohl Nullstellenmengen verschiedener Funktionen, sind $= [mm] S^2$.
[/mm]
>
> 3. Frage: Wieso verschwindet denn der Gradient von f
> überall?? Wir haben doch grad
> [mm]f(x,y,z)=2(x^2+y^2+z^2-1)(2x,2y,2z)[/mm] und das ist doch nicht
> (0,0,0) oder??
>
Die meinen hier, dass der Gradient ueberall auf $S$ verschwindet; was ja auch der Fall ist.
>
> Hoffe, ihr könnt mir bei diesen Fragen helfen.
>
>
> Grüße
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Hi nochmal,
> Das Beispiel soll zeigen, dass das f aus der Definition von S nicht immer die beste Wahl sein muss, um die Regularitaet nachzupruefen, also fuer einige definierende Funktionen die Bedingung erfuellt sein kann, fuer andere aber nicht, obwohl es sich um die gleiche Menge handelt
Und woher weiß ich, ob das f aus S eine gute Wahl war oder nicht? Denn stell dir vor, ich nehme ein f, welches keine gute Wahl war, überprüfe und stelle heraus, dass es keine reguläre Fläche ist, obwohl es aber in echt doch eine reguläre Fläche wäre. Und dann??
> Nein, unter $ [mm] (S^2)^2 [/mm] $ wuerde ich eher ein cartesisches Produkt verstehen. Beide Mengen, obwohl Nullstellenmengen verschiedener Funktionen, sind $ = [mm] S^2 [/mm] $.
D.h. aber nicht, dass [mm] f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1)^2 [/mm] dasselbe ist wie [mm] f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1 [/mm] ?? oder??
Mich irritiert nämlich dieses [mm] ()^2, [/mm] wenn die dann noch von der 2-Sphäre sprechen.
> grad [mm] f(x,y,z)=2(x^2+y^2+z^2-1)(2x,2y,2z) [/mm]
> Die meinen hier, dass der Gradient ueberall auf S verschwindet; was ja auch der Fall ist.
Woran sieht man das? Ich meine [mm] 2(x^2+y^2+z^2-1)(2x,2y,2z) [/mm] ist doch schon nach der Kettelregel die vereinfachte Ableitung von [mm] f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1)^2, [/mm] oder? Und waran erkennt man jetzt, dass das verschwindet?
Hoffe, du hast mir diese Fragen auch noch beantworten.
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:22 Do 22.09.2011 | | Autor: | hippias |
> Und woher weiß ich, ob das f aus S eine gute Wahl war oder
> nicht? Denn stell dir vor, ich nehme ein f, welches keine
> gute Wahl war, überprüfe und stelle heraus, dass es keine
> reguläre Fläche ist, obwohl es aber in echt doch eine
> reguläre Fläche wäre. Und dann??
>
Ich schaetze da faengt die Kunst der Mathematik an  . Der Hinweis soll sagen: Kann man die Menge $S$ als Nullstellenmenge einer Funktion $f$ darstellen und erfuellt dieses $f$ die Regularitaetsbedingung NICHT, so koennte es trotzdem sein, dass man $S$ als Nullstellenmenge einer anderen Funktion darstellen kann, die die Regularitaetsbedingung erfuellt.
Ich kann mir vorstellen, dass der Nachweis der Nichtregularitaet einer Menge mit Hilfe dieses Kriteriums schwierig sein kann, weil man ja zeigen muesste, dass fuer jedes $f$, dessen Nullstellenmenge $S$ ist, es ein [mm] $x\in [/mm] S$ gibt, sodass $f'(x)= 0$ ist.
> D.h. aber nicht, dass [mm]f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1)^2[/mm] dasselbe
> ist wie [mm]f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-1[/mm] ?? oder??
>
> Mich irritiert nämlich dieses [mm]()^2,[/mm] wenn die dann noch von
> der 2-Sphäre sprechen.
>
Nein, die beiden Funktion sind unterschiedlich, liefern aber die selbe Nullstellenmenge, naemlich [mm] $S^{2}$.
[/mm]
> Woran sieht man das? Ich meine [mm]2(x^2+y^2+z^2-1)(2x,2y,2z)[/mm]
> ist doch schon nach der Kettelregel die vereinfachte
> Ableitung von [mm]f(x,y,z)=(x^2+y^2+z^2-1)^2,[/mm] oder? Und waran
> erkennt man jetzt, dass das verschwindet?
>
Die Ableitung hast Du richtig berechnet. Ist nun [mm] $p\in S^{2}$, [/mm] so gilt nach Definition [mm] $p_{1}^2+p_{2}^2+p_{3}^2=1$. [/mm] Folglich $f'(p)= [mm] 2(p_{1}^2+p_{2}^2+p_{3}^2-1)(2p_{1},2p_{2},2p_{3})= 2\cdot 0(2p_{1},2p_{2},2p_{3})= [/mm] 0$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:03 Do 22.09.2011 | | Autor: | steve.joke |
Hi,
vielen Dank für die Erklärungen.
Grüße
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Hallo,
ich habe zu dieser Thematik doch nochmal eine Frage. Also vielleicht den Satz nochmal:
Sei $ [mm] V_0\subset \IR^3 [/mm] $ offen, sei $ [mm] f:V_0 \to \IR [/mm] $ eine glatte Funktion. Wir setzen
$ [mm] S:=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | f(x,y,z)=0 \}. [/mm] $ Falls für alle p $ [mm] \in [/mm] $ S gilt
grad $ [mm] f(p)\not=(0,0,0), [/mm] $
dann ist S eine reguläre Fläche.
Und jetzt der Beweis dazu:
Sei [mm] p:=(x_0,y_0,z_0)\in [/mm] S. Wegen grad [mm] f(p)\not=(0,0,0) [/mm] können wir O.B.d.A. annhemen, dass [mm] \bruch{df}{dz}(p)\not=0.
[/mm]
Nach dem Satz über impliziete Funktionen gibt es nun eine offene Umgebung V [mm] \subset V_0 [/mm] von p, eine Offene Umgebung U [mm] \subset \IR^2 [/mm] von [mm] (x_0,y_0) [/mm] und eine glatte Funktion g:U [mm] \to \IR, [/mm] sodass
S [mm] \cap [/mm] V [mm] =\{(x,y,g(x,y)) | (x,y)\in U \}.
[/mm]
Setzen wir nun auch F:U [mm] \to [/mm] V, F(x,y)=(x,y,g(x,y)), so sehen wir nach ..., dass F eine lokale Parametrierung ist.
Meine Fragen zu diesem Beiweis.
1. Die zeigen doch hier, wenn der Gradient nicht Null ist, dass es dann eine Parametierung gibt, die zu einer Regulären Fläche führt, oder??
2. Sei [mm] p:=(x_0,y_0,z_0)\in [/mm] S. Wegen grad [mm] f(p)\not=(0,0,0) [/mm] können wir O.B.d.A. annhemen, dass [mm] \bruch{df}{dz}(p)\not=0.
[/mm]
Wo wird denn im weiteren Beweis [mm] \bruch{df}{dz}(p)\not=0 [/mm] benötigt??
3. Wo wird im ganzen Beweis überhaupt benötigt, dass f eine Nullstellenmenge ein muss? Also f(x,y,z)=0???
4. Wofür wird der Satz über impliziete Funktionen genau benötigt???
Könnt ihr mir bei diesen Fragen vielleicht weiterhelfen??
Grüße
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Hallo,
> Hallo,
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> ich habe zu dieser Thematik doch nochmal eine Frage. Also
> vielleicht den Satz nochmal:
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> Sei [mm]V_0\subset \IR^3[/mm] offen, sei [mm]f:V_0 \to \IR[/mm] eine glatte
> Funktion. Wir setzen
>
> [mm]S:=\{(x,y,z)\subset \IR^3 | f(x,y,z)=0 \}.[/mm] Falls für alle
> p [mm]\in[/mm] S gilt
>
> grad [mm]f(p)\not=(0,0,0),[/mm]
>
> dann ist S eine reguläre Fläche.
>
> Und jetzt der Beweis dazu:
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>
> Sei [mm]p:=(x_0,y_0,z_0)\in[/mm] S. Wegen grad [mm]f(p)\not=(0,0,0)[/mm]
> können wir O.B.d.A. annhemen, dass
> [mm]\bruch{df}{dz}(p)\not=0.[/mm]
>
> Nach dem Satz über impliziete Funktionen gibt es nun eine
> offene Umgebung V [mm]\subset V_0[/mm] von p, eine Offene Umgebung U
> [mm]\subset \IR^2[/mm] von [mm](x_0,y_0)[/mm] und eine glatte Funktion g:U
> [mm]\to \IR,[/mm] sodass
>
> S [mm]\cap[/mm] V [mm]=\{(x,y,g(x,y)) | (x,y)\in U \}.[/mm]
>
> Setzen wir nun auch F:U [mm]\to[/mm] V, F(x,y)=(x,y,g(x,y)), so
> sehen wir nach ..., dass F eine lokale Parametrierung ist.
>
>
> Meine Fragen zu diesem Beiweis.
>
> 1. Die zeigen doch hier, wenn der Gradient nicht Null ist,
> dass es dann eine Parametierung gibt, die zu einer
> Regulären Fläche führt, oder??
Ja.
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> 2. Sei [mm]p:=(x_0,y_0,z_0)\in[/mm] S. Wegen grad [mm]f(p)\not=(0,0,0)[/mm]
> können wir O.B.d.A. annhemen, dass
> [mm]\bruch{df}{dz}(p)\not=0.[/mm]
>
> Wo wird denn im weiteren Beweis [mm]\bruch{df}{dz}(p)\not=0[/mm]
> benötigt??
>
das ist voraussetzung, um den satz über implizite funktionen auf die z-Variable anwenden zu können.
> 3. Wo wird im ganzen Beweis überhaupt benötigt, dass f
> eine Nullstellenmenge ein muss? Also f(x,y,z)=0???
auch das ist voraussetzung für den SüIF. Allerdings kannst du die 0 durch jede beliebige konstante ersetzen, das ändert nichts an der Aussage.
>
> 4. Wofür wird der Satz über impliziete Funktionen genau
> benötigt???
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du solltest dir diesen satz nochmal gut anschauen. er wird benötigt, um den übergang von einer niveaufläche zu einer parametrisierten fläche zu schaffen.
gruss
matthias
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