Regeln für Ungl. beweisen < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:13 So 19.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Beweisen sie:
Für x,y,z [mm] ∈\IR [/mm] gilt:
(a) [mm] x
(b) [mm] x
(c) [mm] x0\Rightarrow [/mm] xz<yz
(d) [mm] x\not=0\Rightarrow x^2>0
[/mm]
(e) [mm] x>0\Rightarrow [/mm] 1/x>0 |
Tag zusammen,
hoffe ich bin im richtigen Bereich gelandet.
Wir haben in der Vorlesung Gruppen und Körper eingeführt und dann nach und nach die vers. Zahlenräume.
Ich denke ich gehe an die ganze Sache zu kompliziert ran, deshalb stehe ich grad auf dem Schlauch, denn die ganze Aufgabe ist ja mehr oder weniger "trivial"
Hoffe ihr könnt mir hier auf die Sprünge helfen.
Also die reellen Zahlen sind ja ein (geordneter) Körper. D.h. wir haben je für Addition und Multiplikation ein Assoziativ- und Kommutativgesetz, ein Inverses und ein neutrales Element und zusätzlich dazu noch die Distributivgesetze und die Trichotonie
(c)
x<y [mm] \Rightarrow [/mm] x−y<0 [mm] \Rightarrow [/mm] (x−y)z<0 und jetzt mit dem Distributivgesetz ausmultiplizieren und das y wieder rüberbringen, sodass man xz<yz hat
Ok mittlerweile habe ich überall was hingekriegt.
Allerdings habe ich bei der a) und c) noch Verständnisprobleme.
Folgendes habe ich in meinen Bücher gefunden:
(a)
a < b ⇒ a ≤ b
Wegen der Verträglichkeit der linearen Ordnung mit der Addition ergibt sich: a+c ≤ b+c
a + c = b + c kann nicht gelten, da hieraus a = b folgen würde, was aber der Voraussetzung widerspricht.
Ich kapier nicht warum, dass überhaupt ein Beweis ist wenn die Veträglichkeit der Addition zur Definition gehört. Dann ist dass doch einfach so definiert und es gibt eigentlich nichts zu beweisen.
Das a < b ⇒ a ≤ b gilt, ist ja so, weil ich zum < die Eigenschaft der Gleichheit = hinzufüge, die aber eh nicht erfüllt ist.
Ist übertragend in etwas wie 0 zu einer Gl. zu addieren?
Mit diesem Beweis der (a) könnte man analog doch auch die (c) machen, oder?
Würde dann mein Beweis trotzdem noch stimmen.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mo 20.06.2011 | | Autor: | chrisno |
> Beweisen sie:
> Für x,y,z [mm]∈\IR[/mm] gilt:
> (a) [mm]x
> (b) [mm]x
Was soll das heißen?
> (c) [mm]x0\Rightarrow[/mm] xz<yz
> (d) [mm]x\not=0\Rightarrow x^2>0[/mm]
> (e) [mm]x>0\Rightarrow[/mm] 1/x>0
>
> ...
> Distributivgesetze und die Trichotonie
Unter Trichotomie wurd ich fündig.
>
> (c)
> x<y [mm]\Rightarrow[/mm] x−y<0 [mm]\Rightarrow[/mm] (x−y)z<0
das darfst Du aber erst, nachdem Du a) gezeigt hast. Außerdem musst Du beweisen, dass die Relation bei der Multiplikation mit z erhalten bleibt. Das ist aber die eigentliche Aufgabe deren Ergebnis Du hier schon benutzt.
> und jetzt
> mit dem Distributivgesetz ausmultiplizieren und das y
> wieder rüberbringen, sodass man xz<yz hat
>
> Ok mittlerweile habe ich überall was hingekriegt.
> Allerdings habe ich bei der a) und c) noch
> Verständnisprobleme.
> Folgendes habe ich in meinen Bücher gefunden:
>
> (a)
> a < b ⇒ a ≤ b
> Wegen der Verträglichkeit der linearen Ordnung mit der
> Addition ergibt sich: a+c ≤ b+c
> a + c = b + c kann nicht gelten, da hieraus a = b folgen
> würde, was aber der Voraussetzung widerspricht.
Woher weißt Du, dass das folgen würde?
>
> Ich kapier nicht warum, dass überhaupt ein Beweis ist wenn
> die Veträglichkeit der Addition zur Definition gehört.
> Dann ist dass doch einfach so definiert und es gibt
> eigentlich nichts zu beweisen.
Nun musst Du genau aufschreiben, wie das mit der Verträglichkeit definiert ist. So muss man sich das erschließen.
> Das a < b ⇒ a ≤ b gilt, ist ja so, weil ich zum < die
> Eigenschaft der Gleichheit = hinzufüge, die aber eh nicht
> erfüllt ist.
Wenn Du das aber brauchst, um a) zu zeigen, weil Du dann erst das da stehen hast, was Du verwenden kannst dann ist das eine gute Idee. Du musst ganz scharf trennen: Was weißt Du schon seit Jahren, das vergiss. Was weist Du aus der Vorlesung, nur das benutze. Es geht darum, nur und wirklich nur aus dem bisher definierten die Folgerungen zu ziehen.
> Ist übertragend in etwas wie 0 zu einer Gl. zu addieren?
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]")
>
> Mit diesem Beweis der (a) könnte man analog doch auch die
> (c) machen, oder?
Führ es mal vor.
> Würde dann mein Beweis trotzdem noch stimmen.
Vielleicht stimmt er dann.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:35 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Sup |
> > Beweisen sie:
> > Für x,y,z [mm]∈\IR[/mm] gilt:
> > (a) [mm]x
> > (b) [mm]x
> Was soll das heißen?
Was meinst du genau?
> > (c) [mm]x0\Rightarrow[/mm] xz<yz
> > (d) [mm]x\not=0\Rightarrow x^2>0[/mm]
> > (e) [mm]x>0\Rightarrow[/mm]
> 1/x>0
> >
> > ...
> > Distributivgesetze und die Trichotonie
> Unter Trichotomie wurd ich fündig.
> >
> > (c)
> > x<y [mm]\Rightarrow[/mm] x−y<0 [mm]\Rightarrow[/mm] (x−y)z<0
> das darfst Du aber erst, nachdem Du a) gezeigt hast.
> Außerdem musst Du beweisen, dass die Relation bei der
> Multiplikation mit z erhalten bleibt.
[mm] \IR [/mm] ist doch ein angeordneter Körper. In meinem Buch steht, das damit auch die Monotonie der Multiplikation gilt. Also für ein x>0, y>0 ist ebenfalls xy>0
> Das ist aber die
> eigentliche Aufgabe deren Ergebnis Du hier schon benutzt.
> > und jetzt
> > mit dem Distributivgesetz ausmultiplizieren und das y
> > wieder rüberbringen, sodass man xz<yz hat
> >
> > Ok mittlerweile habe ich überall was hingekriegt.
> > Allerdings habe ich bei der a) und c) noch
> > Verständnisprobleme.
> > Folgendes habe ich in meinen Bücher gefunden:
> >
> > (a)
> > a < b ⇒ a ≤ b
> > Wegen der Verträglichkeit der linearen Ordnung mit der
> > Addition ergibt sich: a+c ≤ b+c
> > a + c = b + c kann nicht gelten, da hieraus a = b
> folgen
> > würde, was aber der Voraussetzung widerspricht.
> Woher weißt Du, dass das folgen würde?
Wegen der Monotonie der Addition, oder?
> >
> > Ich kapier nicht warum, dass überhaupt ein Beweis ist wenn
> > die Veträglichkeit der Addition zur Definition gehört.
> > Dann ist dass doch einfach so definiert und es gibt
> > eigentlich nichts zu beweisen.
> Nun musst Du genau aufschreiben, wie das mit der
> Verträglichkeit definiert ist. So muss man sich das
> erschließen.
>
>
> > Das a < b ⇒ a ≤ b gilt, ist ja so, weil ich zum < die
> > Eigenschaft der Gleichheit = hinzufüge, die aber eh nicht
> > erfüllt ist.
> Wenn Du das aber brauchst, um a) zu zeigen, weil Du dann
> erst das da stehen hast, was Du verwenden kannst dann ist
> das eine gute Idee. Du musst ganz scharf trennen: Was
> weißt Du schon seit Jahren, das vergiss. Was weist Du aus
> der Vorlesung, nur das benutze. Es geht darum, nur und
> wirklich nur aus dem bisher definierten die Folgerungen zu
> ziehen.
>
> > Ist übertragend in etwas wie 0 zu einer Gl. zu addieren?
>
Vergiss es, war ein doofer Vergleich 
> >
> > Mit diesem Beweis der (a) könnte man analog doch auch die
> > (c) machen, oder?
> Führ es mal vor.
x<y [mm] \Rightarrow x\le [/mm] y
wegen der Monotonie der Multiplk. xz [mm] \le [/mm] yz und da der Gleichheitsfall gegen unsere Vorraussetzung verstören würde muss xz < yz gelten
> > Würde dann mein Beweis trotzdem noch stimmen.
> Vielleicht stimmt er dann.
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:39 Mo 20.06.2011 | | Autor: | chrisno |
> > > Beweisen sie:
> > > Für x,y,z [mm]∈\IR[/mm] gilt:
> > > (a) [mm]x
> > > (b) [mm]x
> > Was soll das heißen?
> Was meinst du genau?
Da steht: "Raute mit Fragezeichen drin" --yy
Für diese Symbole fehlt mir die mathematisch Interpretation
> > Außerdem musst Du beweisen, dass die Relation bei der
> > Multiplikation mit z erhalten bleibt.
> [mm]\IR[/mm] ist doch ein angeordneter Körper. In meinem Buch
> steht, das damit auch die Monotonie der Multiplikation
> gilt. Also für ein x>0, y>0 ist ebenfalls xy>0
Es gibt verschiedene Wege, dieses aufzuziehen. Wir können die Richtigkeit Deines Beweises nur dann beurteilen, wenn wir alle Voraussetzungen kennen. Arbeitest Du gerade ein Buch durch, oder handelt es sich um Aufgaben zu einer Vorlesung? In beiden Fällen musst Du jede noch so kleine Umformung begründen.
> > > Mit diesem Beweis der (a) könnte man analog doch auch die
> > > (c) machen, oder?
> > Führ es mal vor.
> x<y [mm]\Rightarrow x\le[/mm] y
> wegen der Monotonie der Multiplk. xz [mm]\le[/mm] yz und
selbst dann fehlt die Anmerkung, dass das nur gilt, weil z>0.
> da der
> Gleichheitsfall gegen unsere Vorraussetzung verstören
> würde muss xz < yz gelten
Wenn Du die Monotonie schon gezeigt hast ...
Daraus schließe ich, dass ihr die Monotonie schon vor den Rechenregeln mit den Ungleichheitszeichen behandelt habt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:40 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Sup |
> > > > Beweisen sie:
> > > > Für x,y,z [mm]∈\IR[/mm] gilt:
> > > > (a) [mm]x
> > > > (b) [mm]x
> > > Was soll das heißen?
> > Was meinst du genau?
> Da steht: "Raute mit Fragezeichen drin" --yy
> Für diese Symbole fehlt mir die mathematisch
> Interpretation
Hmm also bei mir wir nur die ganz normale Ungleichug aus der Aufgabestellung angezeigt. In Eingabe Feld seh ich zwar was du meinst, weiß aber auch nicht wo das herkommt. Ich hab's nicht eingetippt.
> > > Außerdem musst Du beweisen, dass die Relation bei der
> > > Multiplikation mit z erhalten bleibt.
> > [mm]\IR[/mm] ist doch ein angeordneter Körper. In meinem Buch
> > steht, das damit auch die Monotonie der Multiplikation
> > gilt. Also für ein x>0, y>0 ist ebenfalls xy>0
>
> Es gibt verschiedene Wege, dieses aufzuziehen. Wir können
> die Richtigkeit Deines Beweises nur dann beurteilen, wenn
> wir alle Voraussetzungen kennen. Arbeitest Du gerade ein
> Buch durch, oder handelt es sich um Aufgaben zu einer
> Vorlesung? In beiden Fällen musst Du jede noch so kleine
> Umformung begründen.
Ich arbeite an Aufgaben zu der Vorlesung und habe als Hilfsmittel ein vom Prof empfohlenes Buch.
>
> > > > Mit diesem Beweis der (a) könnte man analog doch auch die
> > > > (c) machen, oder?
> > > Führ es mal vor.
> > x<y [mm]\Rightarrow x\le[/mm] y
> > wegen der Monotonie der Multiplk. xz [mm]\le[/mm] yz und
> selbst dann fehlt die Anmerkung, dass das nur gilt, weil
> z>0.
Ok, aber das z>0 ist ja schon durch die Aufgabenstellung vorausgesetzt.
> > da der
> > Gleichheitsfall gegen unsere Vorraussetzung verstören
> > würde muss xz < yz gelten
> Wenn Du die Monotonie schon gezeigt hast ...
> Daraus schließe ich, dass ihr die Monotonie schon vor den
> Rechenregeln mit den Ungleichheitszeichen behandelt habt.
Nein Monotonie haben wir noch nicht.
Die Voraussetzung aus der Aufgabe ist x<y.
Allgemein gilt bei den reellen Zahlen (da geordneter Körper)
x [mm] \le [/mm] y [mm] \gdw [/mm] x=y oder x<y
Jetzt kommt der "Zwischenschritt" bei dem ich den Sinn nicht vertehe:
Dann kann ich x < y auch als x [mm] \le [/mm] y schreiben.
Da z>0 und wir die Monotonie der Multiplikation haben (weil [mm] \IR [/mm] geordneter Körper ist) kann man xz [mm] \le [/mm] yz schreiben.
Das beinhaltet wieder xz=yz, was ja der Widerspruch zur Aufgaben Vorraussetzung (x<y) wäre, also kann nur xz < yz gelten. Genau das soll ja auch gezeigt werden.
Für mich ist der Beweis auch schlüssig, nur verstehe ich nicht, warum man den Schritt mit [mm] \le [/mm] einführt.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Mo 20.06.2011 | | Autor: | chrisno |
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> Hmm also bei mir wir nur die ganz normale Ungleichug aus
> der Aufgabestellung angezeigt. In Eingabe Feld seh ich zwar
> was du meinst, weiß aber auch nicht wo das herkommt. Ich
> hab's nicht eingetippt.
Da es nicht in der aktuellen Diskussion ist, ist es wohl egal. Aber mich würde schon interessieren, was da stehen sollte. Setze den ganzen Ausdruck in mathematische Klammern.
> Ich arbeite an Aufgaben zu der Vorlesung und habe als
> Hilfsmittel ein vom Prof empfohlenes Buch.
Ist der Aufbau im Buch und in der Vorlesung identisch? Hast Du aus dem Buch nur Stellen genommen, die schon in der Vorlesung dran waren?
> > z>0.
> Ok, aber das z>0 ist ja schon durch die Aufgabenstellung
> vorausgesetzt.
Ja natürlich. Aber Du musst hier angeben, dass der Schritt nur deshalb erlaubt ist, weil dies Voraussetzung aufgrund der Aufgabenstellung gegeben ist.
>
> Nein Monotonie haben wir noch nicht.
> Die Voraussetzung aus der Aufgabe ist x<y.
> Allgemein gilt bei den reellen Zahlen (da geordneter
> Körper)
> x [mm]\le[/mm] y [mm]\gdw[/mm] x=y oder x<y
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt kommt der "Zwischenschritt" bei dem ich den Sinn
> nicht vertehe:
> Dann kann ich x < y auch als x [mm]\le[/mm] y schreiben.
> Da z>0 und wir die Monotonie der Multiplikation haben
> (weil [mm]\IR[/mm] geordneter Körper ist) kann man xz [mm]\le[/mm] yz
> schreiben.
Es wäre wirklich hilfreich, wenn Du alle Axiome, die ihr habt, und nur die mal hinschreiben würdest. So kann ich nur zum Beispiel mit Wikipedia vergleichen. Dort sind die Axiome offensichtlich anders formuliert, da a) dort ein Axiom ist.
> Das beinhaltet wieder xz=yz, was ja der Widerspruch zur
> Aufgaben Vorraussetzung (x<y) wäre, also kann nur xz < yz
> gelten. Genau das soll ja auch gezeigt werden.
>
> Für mich ist der Beweis auch schlüssig, nur verstehe ich
> nicht, warum man den Schritt mit [mm]\le[/mm] einführt.
Weil Du nur die Axiome und logische Schlussfolgerungen benutzen darfst. Wenn Du nur $(z > 0 [mm] \wedge [/mm] x [mm] \le [/mm] y) [mm] \Rightarrow [/mm] xz [mm] \le [/mm] yz$ folgern kannst, dann hast Du noch keine Aussage für $(z > 0 [mm] \wedge [/mm] x < y)$. Die musst Du erst herleiten, indem Du auf schon gültige Aussagen zurückgreifst. Genau das machst Du mit dieser Methode. Übrigens solltest Du noch kurz begründen, wieso da ein Widerspruch entstehen würde. Habt ihr schon $(z [mm] \ne [/mm] 0 [mm] \wedge [/mm] xz = yz) [mm] \Rightarrow [/mm] x = y$?
Randbemerkung: Erst mit d) kannst Du zeigen, dass 1 > 0.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:57 Mo 20.06.2011 | | Autor: | Sup |
| Aufgabe | Beweisen Sie: Für x, y, z [mm] \in \IE [/mm] gilt
a) x<y [mm] \Rightarrow [/mm] x+z <y+z
b) x<y [mm] \Rightarrow [/mm] -y<-x
c) x<y, z>0 [mm] \Rightarrow [/mm] xz<yz
d) x [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow x^2>0
[/mm]
e) x>0 [mm] \Rightarrow \bruch{1}{x}>0 [/mm] |
Also in dem von dir beanstandeten Teil sollte stehen/stand nur die Aufgabenstellung, die ich jetzt oben nochmal einefügt habe.
> Es wäre wirklich hilfreich, wenn Du alle Axiome, die ihr
> habt, und nur die mal hinschreiben würdest. So kann ich
> nur zum Beispiel mit Wikipedia vergleichen. Dort sind die
> Axiome offensichtlich anders formuliert, da a) dort ein
> Axiom ist.
>
Die reellen Zahlen haben wir mit folgenden Eigenshaften definiert:
(A1) [mm] (\IR,+,*) [/mm] ist ein Körper
(A2) [mm] \exists \IR^+ \cup \IR [/mm] (positive reelle Zahlen) mit:
1. [mm] \forall [/mm] x [mm] \in \IR [/mm] gilt genau eine der drei Aussagen x [mm] \in \IR^+, [/mm] x [mm] \not\in \IR^+, [/mm] x=0
2. x, y [mm] \in \IR^+ \Rightarrow [/mm] x+y [mm] \in \IR^+, [/mm] x*y [mm] \in \IR^+
[/mm]
(A3) [mm] \IR [/mm] ist vollständig.
Dazu noch eine Bemerkung:
Durch [mm] x\le [/mm] y [mm] \gdw [/mm] (y-x [mm] \in \IR^+ \vee [/mm] x=y) ist [mm] \IR [/mm] ein total geordneter Körper und [mm] \IR=\IR_0^+ \cup \IR^- [/mm] = [mm] \IR_0^- \cup \IR^+ [/mm] ; [mm] \IR^\pm [/mm] = {x [mm] \in \IR [/mm] | [mm] x\ge(\le)0 [/mm] } , [mm] \IR^- [/mm] = {x [mm] \in \IR [/mm] | -x [mm] \in \IR^+ [/mm] }
Und der Trichotoniesatz:
[mm] \forall [/mm] x, y [mm] \in \IR [/mm] gilt genau eine der Aussagen x>y, x=y, x<y.
Das war's wenn ich nichts übersehen habe.
> Randbemerkung: Erst mit d) kannst Du zeigen, dass 1 > 0.
Die Ungleichungen aus meiner Aufgabe stehen (zusammen mit anderen) auch in meinem Skript nur natürlich ohne Beweis. Am Rand daneben steht noch als Notiz:
insbesondere [mm] 1^2=1>0
[/mm]
Ich bin davon ausgegangen, dass 1>0 dadürch gegeben ist.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Mo 20.06.2011 | | Autor: | chrisno |
> Also in dem von dir beanstandeten Teil sollte stehen/stand
> nur die Aufgabenstellung, die ich jetzt oben nochmal
> einefügt habe.
Alles klar, nun verstehe ich diese Teilaufgabe.
>
> Das war's wenn ich nichts übersehen habe.
>
Das heißt, dass Du auch nicht mehr verwenden darfst.
Ich versuche mich mal an a)
$x < y [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \le [/mm] y$
weil es eine Abschwächung der Aussage ist.
$x [mm] \le [/mm] y [mm] \Rightarrow [/mm] y -x [mm] \in \IR^+$ [/mm]
da total geordneter Körper, und $x = y$ nach Voraussetzung ausgeschlossen ist.
$y -x [mm] \in \IR^+ \Rightarrow [/mm] y+z-(x-z) [mm] \in \IR^+$ [/mm]
Da nur 0=z-z addiert wurde und der Rest aus Anwendung der Körperaxiome folgt. (Müsste eventuell auch noch vorgeführt werden.)
$y+z-(x-z) [mm] \in \IR^+ \Rightarrow [/mm] x+z [mm] \le [/mm] y+z $
da total geordneter Körper.
Wäre nun $x+z = y+z$ würde $x=y$ folgen, im Widerspruch zur Voraussetzung. Also muss $x+z < y+z$ sein, was zu zeigen war.
>
> > Randbemerkung: Erst mit d) kannst Du zeigen, dass 1 > 0.
> Die Ungleichungen aus meiner Aufgabe stehen (zusammen mit
> anderen) auch in meinem Skript nur natürlich ohne Beweis.
> Am Rand daneben steht noch als Notiz:
> insbesondere [mm]1^2=1>0[/mm]
> Ich bin davon ausgegangen, dass 1>0 dadürch gegeben ist.
Ohne Beweis ist das nicht so.
Dies ist mal ein schön einfaches Beispiel. Allerdings mache ich das mit Eurem Axiomensystem anders:
$0 [mm] \ne [/mm] 1$ folgt, so ich mich richtig erinnere, schon aus den Körperaxiomen.
Angenommen c) sei schon gezeigt und $1 < 0$ und $z > 0$. Dann folgt nach c)
aus $1 < 0$ folgt $1 [mm] \cdot [/mm] z < 0 [mm] \cdot [/mm] z$
Nach der Definition der 1 aus den Körperaxiomen und der schon aus den Körperaxiomen abgeleiteten Eigenschaft $0 [mm] \cdot [/mm] x = 0$ folgt als nächstes $z < 0$, was im Widerspruch zur Annahme steht. Also ist $1 > 0$, weil die beiden anderen Möglichkeiten nun ausgeschlossen sind.
Dies mal als Beispiel, wie nur auf Axiome oder schon bewiesenes zurück gegriffen wird. (Also muss $0 [mm] \ne [/mm] 1$ und $0 [mm] \cdot [/mm] x = 0$ und c) schon vorher gezeigt sein.)
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