Regeln für Grenzwerte < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Sa 14.01.2006 | | Autor: | AriR |
frage zuvor nicht gestellt!!
Hey Leute, angenommen ich habe den fall:
Sei [mm] x_n \in \IR [/mm] mit lim [mm] x_n [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] x_n [/mm] * [mm] sin(\bruch{1}{x_n}) [/mm] )
kann ich dann schon sagen, dass der Grenzwert 0 ist, da das [mm] x_n [/mm] vor dem sin immer 0 ist und somit egal was sin ist immer 0 rauskommt?
falls das stimmt, könnte man das so zeigen?
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] x_n [/mm] * [mm] sin(\bruch{1}{x_n}) [/mm] )=
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} x_n [/mm] * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{x_n}) [/mm] = 0 * [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} sin(\bruch{1}{x_n}) [/mm] = 0 ??
vielen dank schonmal.. gruß Ari :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 Sa 14.01.2006 | | Autor: | eikalein |
man kann da nicht enfach sagen, dass der grenzwert o ist. und zwar musst du l`hospital anwenden. dein fall ist hierbei 0*0.
gruß eikalein> frage zuvor nicht gestellt!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:30 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ari!
> kann ich dann schon sagen, dass der Grenzwert 0 ist, da das
> [mm]x_n[/mm] vor dem sin immer 0 ist und somit egal was sin ist
> immer 0 rauskommt?
"egal was [mm] $\sin(...)$ [/mm] ist" , ist falsch! Denn es könnte ja theoretisch der unbestimmte Fall [mm] "$0\times\infty$" [/mm] entstehen.
Entscheidend ist zu erwähnen:
Die [mm] $\sin$-Funktion [/mm] ist beschränkt, da ja gilt: $-1 \ [mm] \le [/mm] \ [mm] \sin(x) [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ +1$ .
Damit darfst Du die Grenzwertsätze anwenden:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left[x_n*\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)*\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] (\red{-1})*\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ = \ (-1)*0 \ = \ 0$
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left[x_n*\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)*\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ [mm] \red{\le} [/mm] \ [mm] (\red{+1})*\limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ = \ (+1)*0 \ = \ 0$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Sa 14.01.2006 | | Autor: | AriR |
vielen dank schonmal für die antworten!!
2 Fragen bleiben da noch :)..
1. wie genau lauten diese grenzwertsätze, weil irgendwie sind mit die umformungen am ende nicht so ganz klar:(
2. ist "0 * [mm] \infty" [/mm] nicht gleich 0 ??
gruß ari
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Also 0 [mm] \* \infty [/mm] kann man nicht so einfach ein ergebniss bestimmen, es kommt auf die Gleichung an.
Wenn du denn scheinbaren [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (0 [mm] \* \infty) [/mm] berechnen willst, brauchst du die Regel von l' Hospital (krankenhasuregel)
Zuerst formst du den Ausruck so um das du den scheinbaren Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] (0/(1/ [mm] \infty)) [/mm] sprich 0/0 oder [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] ((1/0)/( [mm] \infty) [/mm] sprich [mm] \infty/ \infty [/mm] hast (der Trick mit Potenz hoch -1 ist ganz gut.
Dannanch wendest du die Krankenhausregel an (Zähler und Nenner seperat ableiten nach variable bist du irgendwann einen sinnvollen Grenzwert erhälts)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Sa 14.01.2006 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Ari!
Unter der Voraussetzung, dass die einzelnen Grenzwerte $\limes_{n\rightarrow\infty}a_n \ = \ a$ und $\limes_{n\rightarrow\infty}b_n \ = \ b$ auch echt existieren (also "$\limes \not= \ \pm\infty$"), gelten folgende Sätze:
$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n\pm b_n\right) \ = \ \left(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n\right) \ \pm \ \left(\limes_{n\rightarrow\infty}b_n\right) \ = \ a+b$
$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(a_n*b_n\right) \ = \ \left(\limes_{n\rightarrow\infty}a_n\right)*\left(\limes_{n\rightarrow\infty}b_n\right) \ = \ a*b$
$\limes_{n\rightarrow\infty}\left(\bruch{a_n}{b_n}\right) \ = \ \bruch{\limes_{n\rightarrow\infty}a_n}{\limes_{n\rightarrow\infty}b_n} \ = \ \bruch{a}{b}$ Hinweis: $\limes_{n\rightarrow\infty}b_n \ = \ b \ \red{\not= \ 0$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:47 Sa 14.01.2006 | | Autor: | AriR |
aso das war mir dann doch wohl bekannt, aber könntest du dann bitte nochmal den schritt erläutern, den du am ende gemacht hast bei dem beitrag "Beschrenkheit + Grenzwertsatz"
da tauchen nach anwendung des grenzwertsatzes auf einmal zwei mal das lim [mm] x_n [/mm] auf.
vielen vielen dank für deine mühe.. gruß ari
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 Sa 14.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Ari!
> da tauchen nach anwendung des grenzwertsatzes auf einmal
> zwei mal das lim [mm]x_n[/mm] auf.
Wo genau meinst du denn, dass das zweimal auftaucht?
Was Loddar macht ist folgendes:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left[x_n*\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)*\limes_{n\rightarrow\infty}x_n \$
[/mm]
Hier hat er erstmal die Grenzwertsätze angewendet, und den Limes an die einzelnen Faktoren geschrieben.
$ [mm] \red{\ge} [/mm] \ [mm] (\red{-1})*\limes_{n\rightarrow\infty}x_n \$
[/mm]
Hier hat er dann den Sinus abgeschätzt. Die Sinus-Funktion wird ja nie kleiner als -1, deswegen kann man sie mit [mm] $\ge [/mm] -1$ abschätzen.
$ = \ (-1)*0 \ = \ 0$
Und hier hat er dann nur noch den Limes der [mm] x_n [/mm] eingesetzt.
In der zweiten Zeile genau das selbe, nur dass diesmal der Sinus in die andere Richtung abgeschätzt wird: Denn der Sinus bleibt ja auch kleiner als 1, also kann man ihn als [mm] $\le [/mm] 1$ abschätzen.
Also bekommt man insgesammt raus:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left[x_n*\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)\right]\ \ge\ [/mm] 0$ und
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left[x_n*\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)\right]\ \le\ [/mm] 0$
Also:
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}\left[x_n*\sin\left(\bruch{1}{x_n}\right)\right]\ [/mm] =\ 0$
Nun klarer? 
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:25 Sa 14.01.2006 | | Autor: | AriR |
jo vielen danke ich dachte das [mm] \ge [/mm] (-1) wäre ein kommentar oder sowas, deswegen war ich etwas irritiert... vielen dank euch allen, jetzt ist alles klar :)
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:27 Sa 14.01.2006 | | Autor: | AriR |
ich hab schon wieder ein problem :( :(
eigentlich habe ich die frage für folgende aufgabe gestellt.
[mm] f(x)=\begin{cases} {x^2*sin( \bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x=0 \\ {0}, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases}
[/mm]
Wo ist f' stetig?
ich habe raus für f'(x): [mm] f'(x)=\begin{cases} {2x*sin( \bruch{1}{x}-cos( \bruch{1}{x}}, & \mbox{für } x=0 \\ {0}, & \mbox{für } x \not= 0 \end{cases}
[/mm]
für x [mm] \not= [/mm] 0 ist sie stetig habe ich da raus und für die Stetigkeit im punkt 0 muss ja folgendes gelten:
Sei [mm] x_n \in \IR [/mm] mit lim [mm] x_n [/mm] = 0
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n) [/mm] = f(0) = 0
irgendwie habe ich jetzt nach einigen Schritten raus:
-1 [mm] \le 2x_n [/mm] * sin( [mm] \bruch{1}{x_n}-cos( \bruch{1}{x_n} \le [/mm] 1
ist das dann ein Widerspruch um f'(x) ISt stetig in 0 ???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 So 15.01.2006 | | Autor: | taura |
Hallo Ari!
Da du die Frage nochmal gestellt hast, setzte ich sie hier auf "reagiert".
Bitte in Zukunft Fragen nurnoch einmal posten!
Gruß taura
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