Regel von L´hospital < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:59 Di 10.06.2008 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie folgende Grenzwerte mit der Regel von Bernoulli-l´Hospital:
1. [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(\bruch{1}{x}-\bruch{1}{e^{x}-1})
[/mm]
2. [mm] \limes_{x\rightarrow 0}(1+sin²x)^{\bruch{1}{tan²x}} [/mm] |
Hallo Leute,
die Regel von l´Hospital darf man ja nur beim Typ [mm] \bruch{0}{0} [/mm] oder [mm] \bruch{\infty}{\infty} [/mm] anwenden. Hier habe ich jedoch folgende Situation
1. [mm] (\bruch{1}{0}-\bruch{1}{0})
[/mm]
2. [mm] 1^{\bruch{1}{0}}
[/mm]
Ich müsste nun durch Umformungen die Ausdrücke auf die gewünschte Form bringen. Ich denke, dass ich beim 1. Punkt den Nenner "x" auf " [mm] e^{x}-1" [/mm] erweitern müsste, oder umgekehrt, um dann subtrahieren zu können. Im Zähler würde sich sicherlich dementsprechend etwas Passendes ergeben. Jedoch komme ich jetzt nicht auf den Erweiterungsschritt. Beim 2. Punkt bin ich mir nicht sicher, was zu tun wäre. Wie müsste man am besten vorgehen?
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Hallo Eugen,
> Bestimmen Sie folgende Grenzwerte mit der Regel von
> Bernoulli-l´Hospital:
> 1. [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(\bruch{1}{x}-\bruch{1}{e^{x}-1})[/mm]
>
> 2. [mm]\limes_{x\rightarrow 0}(1+sin²x)^{\bruch{1}{tan²x}}[/mm]
>
> Hallo Leute,
> die Regel von l´Hospital darf man ja nur beim Typ
> [mm]\bruch{0}{0}[/mm] oder [mm]\bruch{\infty}{\infty}[/mm] anwenden. Hier
> habe ich jedoch folgende Situation
> 1. [mm](\bruch{1}{0}-\bruch{1}{0})[/mm]
Du kannst doch de l'Hôpital nur anwenden, wenn du einen Quotienten [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$ [/mm] hast.
Bringe also durch entsprechendes Erweitern von [mm] $\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}$ [/mm] vor der Anwendung von de l'Hôpital in die entsprechende Form [mm] $\frac{f(x)}{g(x)}$
[/mm]
> 2. [mm]1^{\bruch{1}{0}}[/mm]
>
> Ich müsste nun durch Umformungen die Ausdrücke auf die
> gewünschte Form bringen. Ich denke, dass ich beim 1. Punkt
> den Nenner "x" auf " [mm]e^{x}-1"[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
erweitern müsste, oder
> umgekehrt, um dann subtrahieren zu können. Im Zähler würde
> sich sicherlich dementsprechend etwas Passendes ergeben.
> Jedoch komme ich jetzt nicht auf den Erweiterungsschritt.
> Beim 2. Punkt bin ich mir nicht sicher, was zu tun wäre.
> Wie müsste man am besten vorgehen?
Benutze die Definition der allg. Potenz: $a^b=e^{b\cdot{}\ln(a)}$
Damit hast du $(1+\sin^2(x)})^{\frac{1}{\tan^2(x)}}=e^{\frac{1}{\tan^2(x)}\cdot{}\ln(1+\sin^2(x))}}$
Dann greife dir den Exponenten raus: $\frac{\ln(1+\sin^2(x))}{\tan^2(x)}$
Der strebt für $x\to 0$ gegen den unbestimmten Ausdruck $\frac{0}{0}$
Also ran mit de l'Hôpital, am Schluss das Ergebnis $e^{(..)}$ nehmen...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:19 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Owen |
Hallo Schachuzipus,
danke für die Tipps, ich probier es mal:
nun ja, beim 1. Punkt müsste ich von "x " auf " [mm] e^{x}-1 [/mm] " erweitern (also auf einen gemeinsamen Nenner bringen), um subtrahieren zu können. Ich erweiter den ersten Bruch also mit [mm] \bruch{e^{x}-1}{x}. [/mm] Die Differenz der beiden Brüche lautet nun: [mm] \bruch{\bruch{e^{x}-1}{x}-1}{e^{x}-1}. [/mm] Ich habe im Zähler aber wieder eine Division durch Null. Komme so also nicht weiter.
Beim Punkt zwei habe ich den Exponenten abgeleitet und bekomme folgenden Ausdruck: [mm] \bruch{[\bruch{sin(2x)}{1+sin²(x)}*tan²(x)]-[ln(1+sin²(x)*2(tan(x)+tan³(x))]}{tan^{4}(x)}
[/mm]
Man sieht, dass ich im Nenner mit [mm] tan^{4}(x) [/mm] eine Null herausbekommen würde. Komme hier auch nicht weiter. Wo habe ich den Fehler?
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Hallo nochmal,
mach's dir nicht zu umständlich 
Es ist [mm] $\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}=\frac{1\cdot{}\blue{(e^x-1)}}{x\blue{(e^x-1)}}-\frac{1\cdot{}\blue{x}}{\blue{x}\cdot{}(e^x-1)}=\frac{e^x-1-x}{x(e^x-1)}$
[/mm]
Das strebt nun für [mm] $x\to [/mm] 0$ gegen [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Wunderbar, also ran mit de l'Hôpital
Es ist [mm] $\frac{\left[e^x-1-x\right]'}{\left[x(e^x-1)\right]'}=\frac{e^x-1}{e^x(x+1)-1}$ [/mm]
Das strebt für [mm] $x\to [/mm] 0$ wieder gegen den unbestimmten Ausdruck [mm] $\frac{0}{0}$
[/mm]
Also nochmal ran mit de l'Hôpital ...
> Beim Punkt zwei habe ich den Exponenten abgeleitet und
> bekomme folgenden Ausdruck:
> [mm]\bruch{[\bruch{sin(2x)}{1+sin²(x)}*tan²(x)]-[ln(1+sin²(x)*2(tan(x)+tan³(x))]}{tan^{4}(x)}[/mm]
Das sieht mir schwer nach Quotientenregel aus? Oder?
Du musst bei de l'Hôpital Zähler und Nenner getrennt !! ableiten
Du hast [mm] $\frac{\ln(1+\sin^2(x)}{\tan^2(x)}$ [/mm] Das strebt gegen [mm] $\frac{0}{0}$, [/mm] also nen unbestimmten Ausdruck, wunderbar
Also de l'Hôpital draufjagen und getrennt ableiten
Es ist [mm] $\frac{\left[\ln(1+\sin^2(x)\right]'}{\left[\tan^2(x)\right]'}=\frac{\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1}}{\frac{2\sin(x)}{\cos^3(x)}}$
[/mm]
Das fasse mal nett zusammen und schaue, was hier passiert für [mm] $x\to [/mm] 0$
Gruß
schachuzipus
> Man sieht, dass ich im Nenner mit [mm]tan^{4}(x)[/mm] eine Null
> herausbekommen würde. Komme hier auch nicht weiter. Wo habe
> ich den Fehler?
Keine Quotientenregel anwenden! Zähler und Nenner werden bei de l'Hôpital getrennt abgeleitet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:26 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Owen |
Oh man, was hab ich da denn beim l´Hospital gemacht. Hab total vergessen, dass es getrennt gemacht wird , naja, jetzt habe ich es zum Glück wieder in Erinnerung. Beim 2. Punkt muss ich scheinbar wieder den l´Hospital anwenden, denn aufgrund des Sinus strebt Zähler und Nenner gegen Null.
Eine kleine Frage hätte ich noch zum Schluss: Der Ausdruck [mm] \frac{\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1}}{\frac{2\sin(x)}{\cos^3(x)}} [/mm] ist ja ein Doppelbruch. Muss ich bei der Anwendung von l´Hospital bei Doppelbrüchen die beiden Zähler und Nenner auch einzelnd ableiten, also quasi beim Ausdruck [mm] \frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1} [/mm] wieder den oberen und den unteren Part getrennt ableiten, oder betrachte ich bei Doppelbrüchen den gesamten Zähler( der ja wiederum aus Zähler und Nenner besteht) als eine Einheit, die ich mir der Quotientenregel ableiten muss? Diese Frage stellt sich ja besonders dann, wenn die einzelnen Terme sehr lang sind, sodass Multiplikation mit dem Kehrwert ungünstig wäre.
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Hallo nochmal,
> s.oben
> Oh man, was hab ich da denn beim l´Hospital gemacht. Hab
> total vergessen, dass es getrennt gemacht wird , naja,
> jetzt habe ich es zum Glück wieder in Erinnerung. Beim 2.
> Punkt muss ich scheinbar wieder den l´Hospital anwenden,
> denn aufgrund des Sinus strebt Zähler und Nenner gegen
> Null.
> Eine kleine Frage hätte ich noch zum Schluss: Der Ausdruck
> [mm]\frac{\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1}}{\frac{2\sin(x)}{\cos^3(x)}}[/mm]
> ist ja ein Doppelbruch.
Hier bist du doch schon fast fertig. Fasse das mal zusammen, da kürzt sich doch einiges raus und nach dem Grenzübergang [mm] $x\to [/mm] 0$ erhältst du $1$ als GW (für den Exponenten von dem [mm] $e^{\text{blabla}}$), [/mm] also insgesamt als GW [mm] $e^1=e$
[/mm]
> Muss ich bei der Anwendung von
> l´Hospital bei Doppelbrüchen die beiden Zähler und Nenner
> auch einzelnd ableiten,
nein, nur den Zähler und Nenner des "Hauptbruchs", der für den unbestimmten Ausdruck [mm] ($\frac{0}{0}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{\infty}{\infty}$) [/mm] verantwortlich ist, ob das dann selbst wieder Brüche sind im Zähler und Nenner ist egal. Falls es welche sind, werden sie natürlich nach den üblichen Diff.regeln abgeleitet.
Also nur Zähler und Nenner des "Hauptbruchs" getrennt ableiten
> also quasi beim Ausdruck
> [mm]\frac{2\sin(x)\cos(x)}{\sin^2(x)+1}[/mm] wieder den oberen und
> den unteren Part getrennt ableiten, oder betrachte ich bei
> Doppelbrüchen den gesamten Zähler( der ja wiederum aus
> Zähler und Nenner besteht) als eine Einheit, die ich mir
> der Quotientenregel ableiten muss? Diese Frage stellt sich
> ja besonders dann, wenn die einzelnen Terme sehr lang sind,
> sodass Multiplikation mit dem Kehrwert ungünstig wäre.
Das stimmt
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:29 Mi 11.06.2008 | | Autor: | Owen |
alles klar, vielen Dank für die Hilfe 
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