Reflexivität < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:06 Sa 01.12.2007 | | Autor: | bine88 |
Hey. Ich habe eine Aufgabe erhalten, in der es um Relationen geht. Die Frage ist, ob sie reflexiv sind, das Problem ist nur, ich verstehe einfach nicht, was mit Reflexivität gemeint ist, entweder park ich auf ner Leitung oder ich bin einfach zu doof...
Also, die Aufgabenstellung ist: Wieviele Relationen in der Menge [mm] A=\{a,b\} [/mm] sind reflexiv (irreflexiv)? Geben Sie alle Relationen in A an.
Zunächst habe ich mir dann mal aufgeschrieben, welche Relationen es gibt, das müssten 16 sein, wenn ich da nicht auch schon was nicht verstanden habe.
Aber woher weiß ich denn jetzt, welche davon reflexiv sind? Ich lese überall nur dass reflexiv (a,a) [mm] \in [/mm] R für alle a [mm] \in [/mm] A ist, aber ich verstehe einfach nicht, was das bedeuten soll.
Wäre echt klasse, wenn mir das jemand erklären könnte!
lg, bine.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Zunächst habe ich mir dann mal aufgeschrieben, welche
> Relationen es gibt, das müssten 16 sein, wenn ich da nicht
> auch schon was nicht verstanden habe.
ja!
Erst mal zur Definition der Reflexivität:
Sei R eine Relation auf A dann heisst reflexix: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] A gilt (x,x) [mm] \in [/mm] R. Das bedeutet das die Diagonale von A [mm] \times [/mm] A zu R gehört!
Mache dir das vielleicht an einem Beispiel klar: Nehme A = {1,2} Stelle mal alle Relationen auf und prüfe welche reflexiv sind. Was ist nun A [mm] \times [/mm] A??? Es ist doch nämlich A [mm] \times [/mm] A = {(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)}. Und man hat genau 16 Relationen denn Denn du musst alle Teilmen der 4-elemtigen Menge bilden also [mm] 2^{4} [/mm] Nun kannst du ja nochmal schauen wieviele Relationen ein Element, zwei Elemente, drei Elemente bzw vier Elemente enthalten. Es ist doch [mm] \vektor{4 \\ 1} [/mm] = 4 Relationen mit einem element bzw [mm] \vektor{4 \\ 2} [/mm] = 6 Relationen mit 2 Elementen etc.. Ich kann ja mal anfangen und du machst den rest.
[mm] R_{1}=\emptyset [/mm] , [mm] R_{2}={(1,1)} [/mm] , [mm] R_{3}={(1,2)} [/mm] , [mm] R_{4}={(2,1)} [/mm] , [mm] R_{5}={(2,2)} [/mm] , [mm] R_{6}={(1,1),(1,2)} [/mm] , ......
Ich hoffe dir ist das klar geworden ansonsten melde dich bitte noch mal
Lieben Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 01.12.2007 | | Autor: | bine88 |
Danke erstmal für die schnelle Antwort!!
Also die restlichen Relationen müssten doch folgende sein:
R7=(1,2),(2,1) R8=(2,1), (1,1) R9=(1,2), (2,2) R10=(2,1),(2,2) R11=(1,1),(2,2) R12=(1,2),(2,1),(1,1) R13=(1,2),(2,1),(2,2) R14=(1,2),(1,1),(2,2) R15=(2,1),(1,1),(2,2) R16=(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)
Aber müssten denn dann nicht alle reflexiv sein, weil z.B. bei R14= (1,2),(1,1),(2,2) sind doch alle in der Relation enthalten, oder nicht?
Was meinst du mit Diagonale von A x A zu R?
lg.
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Hi
>
> Also die restlichen Relationen müssten doch folgende sein:
> R7=(1,2),(2,1) R8=(2,1), (1,1) R9=(1,2), (2,2)
> R10=(2,1),(2,2) R11=(1,1),(2,2) R12=(1,2),(2,1),(1,1)
> R13=(1,2),(2,1),(2,2) R14=(1,2),(1,1),(2,2)
> R15=(2,1),(1,1),(2,2) R16=(1,2),(2,1),(1,1),(2,2)
Ja du hast sie alle richtig aufgestellt :)
> Aber müssten denn dann nicht alle reflexiv sein, weil z.B.
> bei R14= (1,2),(1,1),(2,2) sind doch alle in der Relation
> enthalten, oder nicht?
Nein reflexiv sind doch nur [mm] R_{11},R_{14},R_{15} [/mm] und [mm] R_{16}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Sa 01.12.2007 | | Autor: | bine88 |
hey.
versteh ich ehrlich gesagt immer noch nicht.. warum ist denn z.B. R= (1,1), (2,2) oder R12=(1,2),(2,1),(1,1) nicht reflexiv? Worauf muss ich denn schauen, um das zu sehen?
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> hey.
> versteh ich ehrlich gesagt immer noch nicht.. warum ist
> denn z.B. R= (1,1), (2,2)
Nun ja das dies reflexiv ist müsste dir doch klar sein. die defintion hab ich dir doch aufgeschrieben und du hast sie ja auch richtig in deinem ersten post aufgeschrieben
oder R12=(1,2),(2,1),(1,1) nicht
> reflexiv? Worauf muss ich denn schauen, um das zu sehen?
dein [mm] R_{12} [/mm] kann doch gar nicht reflexiv sein. Reflexiv kannst du dir auch im weitem Sinne als "gleich" vorstellen. Sei aber mit dem "gleich" bitte sehr sehr vorsichtig. Ich kann doch sagen. Ich bin zu mir selber reflexiv. Aber wir beide sind nicht reflexiv wenn es um das Geschlecht geht. Naja komisches Beispiel aber so gehts :) Dein [mm] R_{12} [/mm] ist symmetrisch!
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:38 Sa 01.12.2007 | | Autor: | bine88 |
Also, das symmetrisch für R12 kann ich nachvollziehen und das andre R auch, das war Schwachsinn.
ABER ;) R=(1,1),(2,2),(2,1) ergibt für mich keinen Sinn, weil doch (2,1) nicht gleich ist, ich hoffe du weißt, was ich mein... also weil ich dachte, das beide Komponenten gleich sein müssen, damit das reflexiv sind, also dann nur R=(1,1), (2,2)
Wenn ich symmetrisch richtig verstanden hab müssten außer R12 auch noch R7,R8,R9,R20,R11 und so symmetrisch sein?
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Hi
Ehrlich gesagt versteh ich nicht worauf du hinaus willst. vielleicht nimmst du dir noch ein anderes beispiel oder schaust dir nochmal die definition an. Zur Symmetrie: Es müssen insgesammt 8 Relationen Symmetrisch sein. und 13 Relationen sind transitiv.
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:59 Sa 01.12.2007 | | Autor: | bine88 |
Hmm.. okay, vielen Dank. Vielleicht raff ich's ja noch ;)
Liebe Grüße und gute Nacht.
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Hallo,
vielleicht hilft es dir auch weiter, wenn die Frage beantwortet wird:
> Was meinst du mit Diagonale von A x A zu R?
Das ist nichts anderes als die Gleichheitsrelation auf A, in deinem Fall also:
[mm] $\Delta [/mm] = [mm] \left\{(1,1),(2,2)\right\}$
[/mm]
Und somit meinte Tyskie84 eben nur, dass [mm] $\Delta\subseteq [/mm] R$ gelten muss. Genau dann, wenn in einer Relation diese Teilmenge auftaucht, ist die Relation reflexiv.
Gruß
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:57 So 02.12.2007 | | Autor: | bine88 |
Danke, Danke, Danke, Danke!!!!! Da hat's gehakt ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:20 So 02.12.2007 | | Autor: | bine88 |
Hey.
Bedeutet dann irreflexiv, dass es kein a [mm] \in [/mm] A gibt mit (a,a) [mm] \in [/mm] R?
wenn ja, sind dann die folgenden Relationen irreflexiv:
[mm] R1=\{(1,2)\} [/mm] ; [mm] R2=\{(2,1)\} [/mm] ; [mm] R3=\{(1,2),(2,1)\} [/mm] und [mm] R4=\{\}? [/mm] oder kann bei den irreflexiven Relationen auch ein Paar, wie (1,1) enthalten sein, ich denke nicht, oder?
lg, Bine.
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Hallo,
du siehst es genau richtig. Man kann es auch hier wieder mit der Diagonalen kurz und prägnant formulieren:
$R$ irreflexiv [mm] $\Leftrightarrow \Delta\cap R=\emptyset$.
[/mm]
Gruß
Martin
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