Referat quoti./wurzelkriterium < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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huhu ihr,
Ich muss ein ( 10 minütiges) Über Wurzel- und Quotientenkriterium halten, in ca. zwei Wochen.
Mir fällt nicht viel ein - den Beweis der Kriterien werd ich reinpacken wohl.
Fällt euch noch was ein was man dazu machen kann? muss 10 min füllen^^
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:14 Mo 30.01.2012 | | Autor: | fred97 |
Formulierung und Beweis der Beiden Kriterien und Beiapiele.
Dann dürften 10 Minuten um sein.
FRED
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Hallo,
ich würde noch versuchen, ob du vom zeitlichen her noch Beispiele dafür mit aufnehmen kannst, dass Betrgag Quotient / Wurzel nicht echt kleiner 1 sind, wobei das Konvergenzverhalten dann unklar ist. D.h., es lassen sich für diese Fälle jeweils konvergente und divergente Beispiele finden.
Gruß, Diophant
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moin Evelyn,
Wenn du gut bist könntest du noch das hier mit reinbringen:
![[]](/images/popup.gif) Wurzelkriterium ist schärfer als Quotientenkriterium
Das heißt in Kurz:
Das Wurzelkriterium ist "besser" als das Quotientenkriterium, sprich liefert das Wurzelkriterium keine Aussage, so wird auch das Quot.krit. keine liefern.
Allerdings solltest du dir gut überlegen, ob du das mit reinbringen möchtest.
Denn wenn du alle drei Beweise machst bleibt keine Zeit für Beispiele; und Beispiele müssen auf jeden Fall sein.
So oder so dürftest du damit mehr als genug haben, um auch 15min zu füllen.
Als Tipp: Übe das ganze, achte auf deine Zeit und plane ggf. Pufferzonen ein ("das eine Beispiel lass ich weg, wenn ich an diesem Punkt nur noch drei Minuten hab",etc.).
Das ist zwar bei einem 10min-Vortrag noch nicht ganz so wichtig wie bei einem längeren, aber dennoch solltest du drauf achten.
Alternativ kannst du dich natürlich auch erkundigen, wie das mit der Zeit gesehen wird; vielleicht sollst du ja auch mindestens 10min reden und wenn du 20 füllst stört das keinen?^^
lg
Schadow
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> moin Evelyn,
>
> Wenn du gut bist könntest du noch das hier mit
> reinbringen:
>
> Wurzelkriterium ist schärfer als Quotientenkriterium
Hallo,
ich würde mich bei einem 10-Minuten- Vortrag sogar auf dieses Thema konzentrieren, denn ich gehe davon aus, daß die Beweise für die beiden Kriterien bereits in der Vorlesung geführt wurden.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:12 Mo 30.01.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du den Beweis nicht einfach rein formal hinschreibst, sondern auf die Beweisidee eingehst, sind die 10 minuten schnell rum. Bemueh dich den Beweis gut vorzutragen, das ist besser als viel zusaetzliches. Natuerlich sollte man mir Beispielen aufhoeren, die auch zeigen, welches der 2 kriterien jeweils nuetzlicher sind.
ein gut verstaendlicher Vortrag ist besser als ein zu vollgepackter!
Gruss leduart
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Hey
> huhu ihr,
>
>
> Ich muss ein ( 10 minütiges) Über Wurzel- und
> Quotientenkriterium halten, in ca. zwei Wochen.
>
> Mir fällt nicht viel ein - den Beweis der Kriterien werd
> ich reinpacken wohl.
>
> Fällt euch noch was ein was man dazu machen kann? muss 10
> min füllen^^
Ich würde eventuell auch erwähnen, wann du zb Wurzelkriterium und wann du Quotientenkriterium verwendest (also anhand von Beispielen zeigen wo die Vorteile und Nachteile der beiden Varianten liegen).
Die Schärfe des Wurzelkriteriums würde ich ebenfalls erwähnen - hatte einen Professor, der dies für extremst wichtig befunden hatte. Ob dein Professor/in einen Beweis dafür fordert musst du wissen ^^
Wichtig wäre natürlich auch zu zeigen wass passiert wenn der Betrag kleiner-gleich/größer-gleich/gleich 1 ist .. also das Konvergenzverhalten. Dazu gibt es meines wissens nach sehr schöne Musterbeispiele.
Ansonsten haben alle anderen schon das wichtigste erwähnt ;)
Die 10 min zu füllen sollte auf jeden Fall kein Problem werden.
Liebe Grüße Scherzkrapferl
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Vielen lieben Dank für alle eure kommentare ! ;)
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hi
wollte mein Referat für morgen nochma durchgehen... Bzw mich dadurch ablenken dass mir grad ein wichtiger Mensch ne Abfuhr gegeben hat..
ist ja mündlich also stichpunktartig:
- Quotientenkriterium
Beweis Konvergenz :
Annahme: Sei [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] < 1 also existiert ein q [mm] \in [/mm] (0,1) mit [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \le [/mm] q . Wenn ich [mm] |a_{n}|
[/mm]
also Teleskopprodukt schreibe in etwa:
[mm] |a_{n}|= |\bruch{a_{n}}{a_{n-1}}| \* |\bruch{a_{n-1}}{a_{n-1}}| \* |\bruch{a_{n-2}}{a_{n-3}}| \* [/mm] .... [mm] \* |\bruch{a_{N-1}}{a_{N}}| \* |a_{N}| [/mm] . Nach Annahme ist jeder dieser Ausdrücke [mm] \le [/mm] q, sodass die Abschätzung gilt:
[mm] \le q^{n-N} \*|a_{N}| [/mm] = [mm] \bruch{|a_{N}|}{q^{N}} \* q^n [/mm] . da nach Annahme q [mm] \in [/mm] (0,1) liegt, haben wir als Majorante die geometrische Reihe gefunden.
gilt [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] < 1 ab n > N oder n [mm] \ge [/mm] N ?
Divergenz:
Aus [mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] > 1 folgt , dass die Folgenglieder [mm] a_{n} [/mm] , [mm] a_{n+1} [/mm] etc keine nullfolge bilden, und daher versagt dass Trivialkriterium.
bsp:
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{17}}{2^n}
[/mm]
[mm] |\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| [/mm] = [mm] |\bruch{2^n \* (n+1)^{17}}{2^{n+1} \* (n^{17}}| [/mm] =| [mm] \bruch{1}{2} \* [/mm] 1 | < 1 , reihe ist also absolut konvergent.
kleine Anmerkung.. Es gehört überall lim sup vor richtig?
Wurzelkriterium
Beweis Konvergenz
Annahme : n [mm] \ge [/mm] N , n , N [mm] \in \IN
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} [/mm] < 1 dazu existiert ein q [mm] \in [/mm] (0,1) , sodass [mm] \wurzel[n]{|a_{n}|} \le [/mm] q . Potenziert man beide Seiten mit ^n, so erhält man wie beim Quotientenkriterium eine geometrische Reihe als Majorante, [mm] |a_{n}| \le q^n [/mm] .
Beweis Divergenz:
Weiß ich net wirklich, ist das auch hier so dass es keine Nullfolge ist?
Bsp wie oben:
[mm] a_{n} [/mm] := [mm] \summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{17}}{2^n}
[/mm]
[mm] \wurzel[n]{\bruch{n^{17}{2^n}}} [/mm] = [mm] \wurzel[n]{n^{17}} \* \bruch{1}{2} [/mm] = [mm] \bruch{1}{2} [/mm] < 1
nach wurzelkriterium absolut konvergent.
Wurzelkriterium ist schärfer als Quotientenkriterium
setze dazu :
[mm] \beta [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] , [mm] \beta' [/mm] := [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{a_{n}}
[/mm]
(wieso kann hier auf die Betragsstriche verzichtet werden?)
Z.z. :
[mm] \beta' \le \beta
[/mm]
das würde implizieren, dass wenn das wurzelkriterium klappt auch das quotientenkriterium klappt.
aus der Definition von [mm] \beta [/mm] folgt , dass [mm] \beta [/mm] größter Häufungspunkt der Folge [mm] \bruch{a_{n+1}}{a_{n}} [/mm] ist, Aus der HP Eigenschaft folgt, dass in der [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung von [mm] \beta [/mm] unendlich viele Folgeenglieder liegen ab m [mm] \in \IN [/mm] , sodass gilt : [mm] \bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \le \beta [/mm] + [mm] \varepsilon [/mm] . Betrachet man nun diese feste m [mm] \in \IN [/mm] mithilfe des Wurzelkriteriums, dann gilt, dass
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] sup [mm] \wurzel[n]{a_{m}} [/mm] gegen 1 konvergiert, da [mm] a_{m} [/mm] eine konkrete feste Zahl ist.
Ingesamt folgt daraus, dass wenn das Quotientenkriterium klappt, auch das Wurzelkriterium funktioniert.
Betrachte nun die Reihenglieder ( Wie sieht hier eig die originale Reihe aus?
[mm] a_{2n} [/mm] := [mm] \bruch{1}{2^{2n}}
[/mm]
[mm] a_{2n+1} [/mm] := [mm] \bruch{4}{2^{2n+1}}
[/mm]
Ich hab versucht hier das Beispiel durchzurechnen allerdings krieg ich für
[mm] \bruch{a_{2n+1}}{a_{2n}} [/mm] 2 raus aber dort wo nach wikipedia 1/8 rauskommt krieg ich auch 2 raus, also bei
[mm] \bruch{a_{2n+2}}{a_{2n+1}} [/mm] ...
[mm] \bruch{4\*2^{2n+1}}{1\*2^{2n+2}} [/mm] = 2
also falls statt [mm] 2^{2n+2} 2^{2n+3} [/mm] hinmuss, klappts aber auch net..
edit: da [mm] a_{2n+1} [/mm] := [mm] \bruch{4}{2^{2n+1}}
[/mm]
bekannt is muss ich ja um [mm] a_{2n+2} [/mm] rauszukriegen ja so in etwa die Gleichung lösen:
[mm] \bruch{|x \* 2^{2n+1}|}{|y\*4|} [/mm] da ich denke dass unten [mm] 2^{2n+2} [/mm] stehen muss müsste oben dann 1 stehen. Dann kann ich irgendwie nicht die allg reihe dafür bilden, denn dann wäre [mm] a_{2n+2} [/mm] ja [mm] \bruch{1}{2^{2n+2}} [/mm] aber das macht irgendwie kein sinn, weils dann im zähler vom 1 nach 4 und wieder nach 1 geht..
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kann das jemand mir mir nochmal durchgehen bitte ;/
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> hi
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> wollte mein Referat für morgen nochma durchgehen... Bzw
> mich dadurch ablenken dass mir grad ein wichtiger Mensch ne
> Abfuhr gegeben hat..
Hallo,
seltsame Motivation dafür, sich mit dem Referat zu beschäftigen...
Unmittelbar bevorstehendes Referat als Ablenkung...
> ist ja mündlich also stichpunktartig:
Trotzdem wäre es, wenn Du es korrigiert haben möchtest, ganz gut, es exakt aufzuschreiben.
Klar, vieles, was man bei der Vorbereitung schreibt, wird man beim Vortrag nur sagen - aber wie sollen wir wissen, was Du noch zu sagen gedenkst.
Ich finde Dein Post sehr schwer zu korrigieren, weil Du z.B. überhaupt nicht die Kriterien inder Formulierung, wie Du sie zu beweisen gedenkst, mitteilst, also auch die Voraussetzungen nicht ganz klar sind.
>
> - Quotientenkriterium
>
> Beweis Konvergenz :
> Annahme: Sei [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] < 1 also
> existiert ein q [mm]\in[/mm] (0,1) mit [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| \le[/mm] q . Wenn ich [mm]|a_{n}|[/mm]
> also Teleskopprodukt schreibe in etwa:
>
> [mm]|a_{n}|= |\bruch{a_{n}}{a_{n-1}}| \* |\bruch{a_{n-1}}{a_{n-1}}| \* |\bruch{a_{n-2}}{a_{n-3}}| \*[/mm]
> .... [mm]\* |\bruch{a_{N-1}}{a_{N}}| \* |a_{N}|[/mm] . Nach Annahme
> ist jeder dieser Ausdrücke [mm]\le[/mm] q, sodass die Abschätzung
> gilt:
> [mm]\le q^{n-N} \*|a_{N}|[/mm] = [mm]\bruch{|a_{N}|}{q^{N}} \* q^n[/mm] .
> da nach Annahme q [mm]\in[/mm] (0,1) liegt, haben wir als Majorante
> die geometrische Reihe gefunden.
>
> gilt [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] < 1 ab n > N oder n [mm]\ge[/mm] N ?
Je nachdem, wie Deine Voraussetzungen lauten.
.
>
>
> Divergenz:
>
> Aus [mm]|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}|[/mm] > 1 folgt , dass die
> Folgenglieder [mm]a_{n}[/mm] , [mm]a_{n+1}[/mm] etc keine nullfolge bilden,
> und daher versagt dass Trivialkriterium.
Das Trivialkriterium versagt nicht, sondern es liefert, daß die Reihe nicht konvergiert.
>
> bsp:
>
> [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{17}}{2^n}[/mm]
>
> [mm] \green{|\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}| = |\bruch{2^n \* (n+1)^{17}}{2^{n+1} \* (n^{17}}|=| \bruch{1}{2} \*1 | < 1 }, [/mm] reihe ist also absolut
> konvergent.
>
>
> kleine Anmerkung.. Es gehört überall lim sup vor
> richtig?
Hm. Fakt ist, daß die Ungleichung so, wie sie jetzt dort steht, nicht stimmt. Mit dem limes würde sie stimmen.
Aber ich frage mich nun natürlich: warum plötzlich der limes?
Dein Kriterium war ja wohl ohne, und Du müßtest noch den Bogen zum Kriterium in Deiner Formulierung schlagen.
>
>
> Wurzelkriterium
lautet?
>
> Beweis Konvergenz
> Annahme : n [mm]\ge[/mm] N , n , N [mm]\in \IN[/mm]
>
> [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|}[/mm] < 1 dazu existiert ein q [mm]\in[/mm] (0,1) ,
> sodass [mm]\wurzel[n]{|a_{n}|} \le[/mm] q . Potenziert man beide
> Seiten mit ^n, so erhält man wie beim Quotientenkriterium
> eine geometrische Reihe als Majorante, [mm]|a_{n}| \le q^n[/mm] .
>
> Beweis Divergenz:
>
> Weiß ich net wirklich, ist das auch hier so dass es keine
> Nullfolge ist?
Ja.
Was bekommst Du denn für [mm] $\wurzel[n]{|a_{n}|}$ [/mm] > 1 f.a. [mm] n\ge [/mm] N?
>
>
> Bsp wie oben:
>
>
> [mm]a_{n}[/mm] := [mm]\summe_{n=1}^{\infty} \bruch{n^{17}}{2^n}[/mm]
>
> [mm]\wurzel[n]{\bruch{n^{17}{2^n}}}[/mm] = [mm]\wurzel[n]{n^{17}} \* \bruch{1}{2}[/mm] = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] < 1
>
> nach wurzelkriterium absolut konvergent.
Die Ungleichung ist völlig kraus, auch wenn das Richtige gemeint ist.
>
>
>
>
> Wurzelkriterium ist schärfer als Quotientenkriterium
Was bedeutet das denn eigentlich?
Was möchtest Du unter welchen Voraussetzungen zeigen?
>
>
> setze dazu :
>
> [mm]\beta[/mm] := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] , [mm]\beta'[/mm] := [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}sup \wurzel[n]{a_{n}}[/mm]
>
> (wieso kann hier auf die Betragsstriche verzichtet
> werden?)
Könnte es sein, daß Du eine Reihe betrachtest, bei der die [mm] a_n [/mm] allesamt positiv sind? Ansonsten wird's ohne Betragstriche nicht klappen.
>
> Z.z. :
>
> [mm]\beta' \le \beta[/mm]
>
> das würde implizieren, dass wenn das wurzelkriterium
> klappt auch das quotientenkriterium klappt.
Warum würde das das implizieren? (Diese Frage stellt auch der Chef.)
Wenn aus "Wurzelkriterium klappt" folgt "Quotientenkriterium klappt", wäre das Quotientenkriterium schärfer als das Wurzelkriterium...
Du mußt hier nochmal in Dich gehen und Dir genau klarmachen, was Du zu zeigen gedenkst.
Ich finde es auch hier irritierend, daß Du plötzlich mit limites rummachst, weil sie ja in Deinen Kriterien gar nicht vorkommen. Sogar mit liminf und limsup. (Rechne damit, daß die Chefs Dich fragen: was ist das eigentlich und warum nimmst Du die hier?)
Ich finde das nicht stimmig - ich sage nicht, daß es falsch ist!
>
> aus der Definition von [mm]\beta[/mm] folgt , dass [mm]\beta[/mm] größter
> Häufungspunkt der Folge [mm]\bruch{a_{n+1}}{a_{n}}[/mm] ist, Aus
> der HP Eigenschaft folgt, dass in der [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung
> von [mm]\beta[/mm] unendlich viele Folgeenglieder liegen ab m [mm]\in \IN[/mm]
> , sodass gilt : [mm]\bruch{a_{k+1}}{a_{k}} \le \beta[/mm] +
> [mm]\varepsilon[/mm] . Betrachet man nun diese feste m [mm]\in \IN[/mm]
> mithilfe des Wurzelkriteriums, dann gilt, dass
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] sup [mm]\wurzel[n]{a_{m}}[/mm] gegen 1
> konvergiert, da [mm]a_{m}[/mm] eine konkrete feste Zahl ist.
> Ingesamt folgt daraus, dass wenn das Quotientenkriterium
> klappt, auch das Wurzelkriterium funktioniert.
>
>
>
> Betrachte nun die Reihenglieder ( Wie sieht hier eig die
> originale Reihe aus?
>
> [mm]a_{2n}[/mm] := [mm]\bruch{1}{2^{2n}}[/mm]
> [mm]a_{2n+1}[/mm] := [mm]\bruch{4}{2^{2n+1}}[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^\infty a_n= $\bruch{4}{2^{1}}$+$\bruch{1}{2^{2}}$+$\bruch{4}{2^{3}}$+$\bruch{1}{2^{4}}$+$\bruch{4}{2^{5}}$+$\bruch{1}{2^{6}}$+...
[/mm]
>
> Ich hab versucht hier das Beispiel durchzurechnen
> allerdings krieg ich für
> [mm]\bruch{a_{2n+1}}{a_{2n}}[/mm] 2 raus aber dort wo nach wikipedia
> 1/8 rauskommt krieg ich auch 2 raus, also bei
>
> [mm]\bruch{a_{2n+2}}{a_{2n+1}}[/mm] ...
>
> [mm]\bruch{\red{4}\*2^{2n+1}}{1\*2^{2n+2}}[/mm] = 2
Da solltest Du nochmal die Position der 4 untersuchen.
>
> also falls statt [mm]2^{2n+2} 2^{2n+3}[/mm] hinmuss, klappts aber
> auch net..
>
> edit: da [mm]a_{2n+1}[/mm] := [mm]\bruch{4}{2^{2n+1}}[/mm]
> bekannt is muss ich ja um [mm]a_{2n+2}[/mm] rauszukriegen ja so in
> etwa die Gleichung lösen:
>
> [mm]\bruch{|x \* 2^{2n+1}|}{|y\*4|}[/mm] da ich denke dass unten
> [mm]2^{2n+2}[/mm] stehen muss müsste
Für y. Ja.
> oben dann 1 stehen. Dann kann
> ich irgendwie nicht die allg reihe dafür bilden, denn dann
> wäre [mm]a_{2n+2}[/mm] ja [mm]\bruch{1}{2^{2n+2}}[/mm] aber das macht
> irgendwie kein sinn,
???
> weils dann im zähler vom 1 nach 4 und
> wieder nach 1 geht..
??? Ich weiß gerade nicht, was Du meinst, aber daß mit der 4 etwas nicht stimmte, ist Dir ja selbst aufgefallen, und nun sollte doch alles passen.
LG Angela
P.S.: Mir kommt das Referat übigens zu lang vor für 10 Minuten. Ist die 10-Minuten-Vorgabe streng? Hast Du das Referat schonmal für Deinen Teddy oder so gehalten inkl. Tafelanschrieb?
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hey angela,
ja wäre denke ich zulang gewesen, hab das mit "Wurzelkriterium ist schärfer als Quotientenkriterium!" direkt rausgenommen und dafür schöne beispiele gemacht.
Hab jedenfalls bestanden.. ;P
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