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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:52 Mo 18.06.2012 | | Autor: | nhard |
| Aufgabe | Berechne das Integral:
[mm] $\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\mu}}{i-x^n+ix^{2n}-x^{3n}}dx$
[/mm]
wobei [mm] $-1<\mu<3n-1,\mu\notin \mathbb{N}$ [/mm] und [mm] $n\in\mathbb{N}$ [/mm] |
Hallo liebes Forum.
Ich hänge leider an dieser Aufgabe... Habe erstmal einen Verzweigungsschnitt von 0 bis [mm] $\infty$ [/mm] gelegt und als Integrationspfad den "Schlüsselloch-Pfad" (siehe ![[]](/images/popup.gif) hier) verwendet.
Jetzt möchte ich gerne die Residuen ausrechnen. Dazu habe ich erstmal den Integrand umgeformt zu:
[mm] $$f(x)=\frac{z^\mu}{(z^n-i)^2(z^n+i)}$$
[/mm]
Aber hier komme ich nicht weiter, mir macht irgendwie die Potenz von $z$ zu schaffen. Sonst habe ich einfach um die beiden Polstellen (hier sind das ja [mm] $z_{1/2}=\pm i=e^{\pm \frac{i\pi}{2}}$) [/mm] jeweils den holomorphen Teil der Funktion bis zur benötigten Ordnung entwickelt. Aber das waren immer nur Funktionen die ich so umformen konnte, dass $z$ nicht mehr als Potenz dastand. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich hier weiter komme?
Vielen Dank!
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Hallo nhard,
> Berechne das Integral:
> [mm]\int_{0}^{\infty} \frac{x^{\mu}}{i-x^n+ix^{2n}-x^{3n}}dx[/mm]
>
> wobei [mm]-1<\mu<3n-1,\mu\notin \mathbb{N}[/mm] und [mm]n\in\mathbb{N}[/mm]
>
> Hallo liebes Forum.
>
> Ich hänge leider an dieser Aufgabe... Habe erstmal einen
> Verzweigungsschnitt von 0 bis [mm]\infty[/mm] gelegt und als
> Integrationspfad den "Schlüsselloch-Pfad" (siehe
> hier)
> verwendet.
>
> Jetzt möchte ich gerne die Residuen ausrechnen. Dazu habe
> ich erstmal den Integrand umgeformt zu:
> [mm]f(x)=\frac{z^\mu}{(z^n-i)^2(z^n+i)}[/mm]
Hier hat sich ein Vorzeichenfehler eingeschlichen:
[mm]f(x)=\blue{-}\frac{z^\mu}{(z^n-i)^2(z^n+i)}[/mm]
> Aber hier komme ich nicht weiter, mir macht irgendwie die
> Potenz von [mm]z[/mm] zu schaffen. Sonst habe ich einfach um die
> beiden Polstellen (hier sind das ja [mm]z_{1/2}=\pm i=e^{\pm \frac{i\pi}{2}}[/mm])
> jeweils den holomorphen Teil der Funktion bis zur
> benötigten Ordnung entwickelt. Aber das waren immer nur
> Funktionen die ich so umformen konnte, dass [mm]z[/mm] nicht mehr
> als Potenz dastand. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie
> ich hier weiter komme?
>
Für die praktische Berechnung der Residuen: Praktische Berechnung
> Vielen Dank!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:13 Mo 18.06.2012 | | Autor: | nhard |
Danke für deine Antwort, mit dem Vorzeichen hast du natürlich recht :)
Danke auch für den Link!
ich muss hier wohl anwenden:
Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, gilt: [mm] $Res_af=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}\left[\left(z-a\right)^n f(z)\right]$
[/mm]
Aber wie genau ich die Formel anwende wüsste ich jetzt nicht, ich müsste doch irgendwie versuchen, den Nenner zu faktorisieren?
Weißt du wie ich vorgehen müsste, wenn ich auf eigenem Weg zu den Residuen kommen will?
lg
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Hallo nhard,
> Danke für deine Antwort, mit dem Vorzeichen hast du
> natürlich recht :)
>
> Danke auch für den Link!
> ich muss hier wohl anwenden:
> Hat f in a eine Polstelle n-ter Ordnung, gilt:
> [mm]Res_af=\frac{1}{(n-1)!}\lim_{z\to a}\frac{\partial^{n-1}}{\partial z^{n-1}}\left[\left(z-a\right)^n f(z)\right][/mm]
>
> Aber wie genau ich die Formel anwende wüsste ich jetzt
> nicht, ich müsste doch irgendwie versuchen, den Nenner zu
> faktorisieren?
Ja, das ist der Weg, der einzuschlagen ist.
> Weißt du wie ich vorgehen müsste, wenn ich auf eigenem
> Weg zu den Residuen kommen will?
>
>
> lg
Gruss
MathePower
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![[]](http://en.wikipedia.org/wiki/File:Keyhole_contour.svg){kind=small}
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