Reeller Grenzwert < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 So 01.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | | Zeige, dass eine konvergente [mm] $\IC$-Folge [/mm] mit Gliedern in [mm] \IR [/mm] auch nach [mm] \IR [/mm] konvergiert. |
Ich habe mir ein Widerspruch gedacht, der aber noch etwas hackt, oder?
Sei $a [mm] \in \IR$ [/mm] der Grenzwert der Folge und für genau ein m gelte [mm] $a_m \not\in \IR$, [/mm] so kann es kein a für [mm] $\vmat{ a_m - a } [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] was ein Widerspruch wäre.
Somit sind alle Glieder aus den reellen Zahlen.
|
|
| |
|
> Zeige, dass eine konvergente [mm]\IC[/mm]-Folge mit Gliedern in [mm]\IR[/mm]
> auch nach [mm]\IR[/mm] konvergiert.
> Ich habe mir ein Widerspruch gedacht, der aber noch etwas
> hackt, oder?
>
> Sei [mm]a \in \IR[/mm] der Grenzwert der Folge und für genau ein m
> gelte [mm]a_m \not\in \IR[/mm], so kann es kein a für [mm]\vmat{ a_m - a } < \varepsilon[/mm]
> was ein Widerspruch wäre.
> Somit sind alle Glieder aus den reellen Zahlen.
Etwas sonderbare Aufgabe ...
Wir haben also eine Folge komplexer Zahlen, die
aber so zufälligerweise alle reell sind. Die Folge ist,
als Folge komplexer Zahlen betrachtet, konvergent
und hat also einen gewissen Grenzwert [mm] a\in\IC.
[/mm]
(Wir dürfen noch nicht voraussetzen, dass a auch
reell ist !)
Nun soll gezeigt werden, dass die Folge auch als
reelle Folge betrachtet (sie besteht ja effektiv
aus lauter reellen Gliedern) konvergent ist. Das
läuft wohl darauf hinaus, dass man zeigen muss,
dass der Imaginärteil von a gleich Null sein muss
und also
[mm] $\limes_{n\to\infty}a_n^{\IC}=a=Re(a)=\limes_{n\to\infty}a_n^{\IR}$
[/mm]
Für einen Widerspruchsbeweis sollte man also
annehmen, der Imaginärteil von a sei nicht Null
und diese Annahme dann ad absurdum führen.
LG Al-Chw.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:45 So 01.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Ja wirklich komisch. Aber wenn ich zeige, dass der Imaginärteil des Grenzwertes 0 ist, dann sagt das doch nichts über die übrigen Glieder. Z.B. $f: [mm] \IN \to \IC, [/mm] n [mm] \mapsto \pmat{\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}}$
[/mm]
Es soll von den einzelnen Gliedern auf den Grenzwert geschlossen werden, der selbst reell ist sobald alle Glieder reell sind.
|
|
|
| |
|
Naja.... Folge konvergiert [mm] \gdw [/mm] Folge Cauchy
=> Cauchy Folge mit Gliedern in [mm] \IR [/mm] konvergiert in [mm] \IR, [/mm] da [mm] \IR [/mm] vollständig.... oO
komische Aufgabe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 So 01.11.2009 | | Autor: | ZodiacXP |
Und was wäre hier an meinem ersten Widerspruch falsch?
Ich verstehe es noch nicht. Es ist doch logisch das konvergente komplexe Folgen mit ausschließlich reellen Folgengliedern auch nach [mm] \IR [/mm] konvergieren.
Anderer Ansatz:
Sei [mm] ($a_n$) [/mm] eine konvergente komplexe Zahlen folge mit [mm] $lim(a_n) [/mm] = a$ und [mm] $\forall [/mm] n [mm] \in \IN: Im(a_n) [/mm] = 0$, so gilt auch für a: $Im(a) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] a [mm] \in \IR$ [/mm] qed
|
|
|
| |
|
Hallo,
>
> Anderer Ansatz:
> Sei ([mm]a_n[/mm]) eine konvergente komplexe Zahlen folge mit
> [mm]lim(a_n) = a[/mm] und [mm]\forall n \in \IN: Im(a_n) = 0[/mm], so gilt
> auch für a: [mm]Im(a) = 0 \Rightarrow a \in \IR[/mm] qed
Das ist Quatsch! Nur weils für alle n gilt muss es nicht im Grenzwert auch so sein. So gibt es z.B. Folgen, deren Folgenglieder alle in [mm] \mathbb{Q} [/mm] liegen, der Grenzwert aber nicht!
Du musst die Vollständigkeit von [mm] \IR [/mm] schon in deinen Beweis einbauen.
Gruß Patrick
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 23:07 So 01.11.2009 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
der Beweis ist kein Quatsch, sondern sogar eigentlich ok so, denn eine Folge komplexer Zahlen konvergiert gdw die Folge der Real- und Imaginärwerte konvergieren.
Da die [mm] $Im(a_n) [/mm] = 0$ folgt für den Grenzwert sofort $Im(a) = 0$ und damit $a [mm] \in \IR$
[/mm]
MFG,
Gono.
|
|
|
| |
|
> Ja wirklich komisch. Aber wenn ich zeige, dass der
> Imaginärteil des Grenzwertes 0 ist, dann sagt das doch
> nichts über die übrigen Glieder. Z.B. [mm]f: \IN \to \IC, n \mapsto \pmat{\bruch{1}{n}, \bruch{1}{n}}[/mm]
In der Aufgabe ist aber vorausgesetzt, dass
alle Glieder der Folge reell sein sollen.
Das Beispiel mit [mm] a_n=\bruch{1}{n}+i*\bruch{1}{n} [/mm] kommt also gar
nicht in Frage.
LG
|
|
|
|
