Reelle Faktorisierung < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:49 Di 08.04.2008 | | Autor: | Audience |
| Aufgabe | Bestimmen Sie die reele Faktorisierung von
Q(z) = 1 + z + [mm] z^{2} [/mm] .. [mm] z^{5}
[/mm]
Ergebnis (gegeben):
Q(z) = (z + [mm] 1)(z^{2} [/mm] - z + [mm] 1)(z^{2} [/mm] + z + 1) |
Hallo,
versuche mich schon seit längerem an der Aufgabe aber scheitere immer wieder.
Also soweit bin ich:
Q(z) = [mm] \bruch{1 - z^{6}}{1-z} [/mm] (geom. Summenformel)
Dann muss ich lösen [mm] z^{6} [/mm] = 1.
Ich ziehe die Wurzel also [mm] z^{3} [/mm] = +- 1
Und dann rechne ich mit [mm] z^{3} [/mm] = - 1 weiter.
Aber irgendwie klappt das dann nicht, ich hätte nur 4 Lösungen raus. Oder soll [mm] z^{6} [/mm] = 1 gleich in Polardarstellung lösen?
Gruß,
Thomas
|
|
| |
|
Hi,
> Bestimmen Sie die reele Faktorisierung von
> Q(z) = 1 + z + [mm]z^{2}[/mm] .. [mm]z^{5}[/mm]
>
> Ergebnis (gegeben):
> Q(z) = (z + [mm]1)(z^{2}[/mm] - z + [mm]1)(z^{2}[/mm] + z + 1)
> Hallo,
> versuche mich schon seit längerem an der Aufgabe aber
> scheitere immer wieder.
> Also soweit bin ich:
> Q(z) = [mm]\bruch{1 - z^{6}}{1-z}[/mm] (geom. Summenformel)
> Dann muss ich lösen [mm]z^{6}[/mm] = 1.
> Ich ziehe die Wurzel also [mm]z^{3}[/mm] = +- 1
> Und dann rechne ich mit [mm]z^{3}[/mm] = - 1 weiter.
> Aber irgendwie klappt das dann nicht, ich hätte nur 4
> Lösungen raus. Oder soll [mm]z^{6}[/mm] = 1 gleich in
> Polardarstellung lösen?
>
> Gruß,
> Thomas
also wir wollen
$Q(z) = 1+ z + [mm] z^2 [/mm] + [mm] \cdots [/mm] + [mm] z^5$ [/mm] reell faktoriesiren.
Betrachten wir den konstanten Teil von $Q$, nämlich $1$, so haben wir zwei mögliche Wurzeln von $Q$, nämlich $1$ und $-1$.
$Q(-1) = 0 [mm] \Rightarrow [/mm] -1$ ist eine Wurzel, also $Q(z) = (z-(-1)) [mm] \cdot [/mm] P(z)$.
Polynomdivision liefert:
$P(z) = [mm] \bruch{Q(z)}{z+1} [/mm] = [mm] z^4+z^2+1$.
[/mm]
Jetzt kann man $P$ quadratisch ergänzen, also
$P(z) = [mm] (z^2)^2 [/mm] + [mm] 2\cdot (z^2) [/mm] +1 - [mm] (z^2) [/mm] = [mm] (z^2 [/mm] + [mm] 1)^2 [/mm] - [mm] z^2 [/mm] = [mm] (z^2 [/mm] + 1 - [mm] z)\cdot(z^2 [/mm] + 1 + z) = [mm] \cdots [/mm] $ .
Und so kommst du auf das gegeben Ergebnis.
Gruss,
logarithmus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Di 08.04.2008 | | Autor: | Audience |
> also wir wollen
> [mm]Q(z) = 1+ z + z^2 + \cdots + z^5[/mm] reell faktoriesiren.
> Betrachten wir den konstanten Teil von [mm]Q[/mm], nämlich [mm]1[/mm], so
> haben wir zwei mögliche Wurzeln von [mm]Q[/mm], nämlich [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm].
Du meinst wohl Nullstellen.
Wir haben vom Aufgabenautor ausdrücklich den Hinweis bekommen, das Polynom mit Hilfe der geometrischen Summenformel anders darzustellen. Wie kann man dann weiter vorgehen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:41 Di 08.04.2008 | | Autor: | abakus |
> > also wir wollen
> > [mm]Q(z) = 1+ z + z^2 + \cdots + z^5[/mm] reell faktoriesiren.
> > Betrachten wir den konstanten Teil von [mm]Q[/mm], nämlich [mm]1[/mm], so
> > haben wir zwei mögliche Wurzeln von [mm]Q[/mm], nämlich [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm].
> Du meinst wohl Nullstellen.
>
> Wir haben vom Aufgabenautor ausdrücklich den Hinweis
> bekommen, das Polynom mit Hilfe der geometrischen
> Summenformel anders darzustellen. Wie kann man dann weiter
> vorgehen?
Hallo,
der Term [mm] z^6-1 [/mm] lässt sich mit Hilfe der Binomischen Formel [mm] (a^2-b^2=...) [/mm] schon mal als Produkt schreiben...
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Di 08.04.2008 | | Autor: | Audience |
> Hallo,
> der Term [mm]z^6-1[/mm] lässt sich mit Hilfe der Binomischen Formel
> [mm](a^2-b^2=...)[/mm] schon mal als Produkt schreiben...
> Gruß Abakus
>
[mm] \bruch{(1-z^{3})(1+z^{3})}{1-z} [/mm] - Naja, also das hilft mir nicht direkt weiter. Es muss doch einen Vorteil geben, wenn man mit [mm] \bruch{(1-z^{6})}{1-z} [/mm] ansetzt?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:16 Di 08.04.2008 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> > Hallo,
> > der Term [mm]z^6-1[/mm] lässt sich mit Hilfe der Binomischen
> Formel
> > [mm](a^2-b^2=...)[/mm] schon mal als Produkt schreiben...
> > Gruß Abakus
> >
> [mm]\bruch{(1-z^{3})(1+z^{3})}{1-z}[/mm] - Naja, also das hilft mir
> nicht direkt weiter. Es muss doch einen Vorteil geben, wenn
> man mit [mm]\bruch{(1-z^{6})}{1-z}[/mm] ansetzt?
Also erst einmal kannst du, da 1 eine Nullstelle der Polynome [mm] $(z^3-1)$ [/mm] und $z-1$ ist, eine Polynomdivision [mm] $(z^3-1):(z-1)$ [/mm] durchführen.
Dann hast du ja schon festgestellt, dass -1 eine Nullstelle von [mm] $z^3+1$ [/mm] ist, also kannst du die auch rausdividieren.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
> > also wir wollen
> > [mm]Q(z) = 1+ z + z^2 + \cdots + z^5[/mm] reell faktoriesiren.
> > Betrachten wir den konstanten Teil von [mm]Q[/mm], nämlich [mm]1[/mm], so
> > haben wir zwei mögliche Wurzeln von [mm]Q[/mm], nämlich [mm]1[/mm] und [mm]-1[/mm].
> Du meinst wohl Nullstellen.
Nein, ich meine nicht Nullstelle, sonst Wurzel, deswegen habe ich es ja auch geschrieben 
Nun ist es in der Mathematik so, dass die Wurzel eines Polynoms seine Nullstelle ist.
Gruss,
logarithmus
|
|
|
|
