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| Aufgabe | Die A' bedeuten A mit einem geschwungenen Strich darüber.
Definition:
Eine Matrix A [mm] \in \IC^{nxn} [/mm] heißt zerlegbar, falls eine Permutationsmatrix P [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] derart existiert, dass
[mm] PAP^{T}= \pmat{ A'_{11} & A'_{12} \\ 0 & A'_{22} }
[/mm]
mit A'_{ii} [mm] \in \IC^{n_ixn_i}, n_i [/mm] > 0, i=1,2, [mm] n_1 [/mm] + [mm] n_2 [/mm] = n gilt. Andernfalls heißt A unzerlegbar. |
Guten Tag,
ich habe momentan noch große Probleme mit dieser Definition. Meine erste Frage wäre erst einmal, ob es eine einfache Möglichkeit gibt festzustellen, ob eine Matrix zerlegbar bzw. unzerlegbar ist.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Do 06.01.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die A' bedeuten A mit einem geschwungenen Strich darüber.
Du meinst [mm] $\tilde{A}$, [/mm] gesprochen "A tilde" 
> Definition:
> Eine Matrix A [mm]\in \IC^{nxn}[/mm] heißt zerlegbar, falls eine
> Permutationsmatrix P [mm]\in \IR^{nxn}[/mm] derart existiert, dass
>
> [mm]PAP^{T}= \pmat{ A'_{11} & A'_{12} \\ 0 & A'_{22} }[/mm]
>
> mit A'_{ii} [mm]\in \IC^{n_ixn_i}, n_i[/mm] > 0, i=1,2, [mm]n_1[/mm] + [mm]n_2[/mm] =
> n gilt. Andernfalls heißt A unzerlegbar.
>
> ich habe momentan noch große Probleme mit dieser
> Definition. Meine erste Frage wäre erst einmal, ob es eine
> einfache Möglichkeit gibt festzustellen, ob eine Matrix
> zerlegbar bzw. unzerlegbar ist.
Nehmen wir mal an, $A = [mm] (a_{ij})_{ij}$ [/mm] und $P = [mm] (p_{ij})_{ij}$ [/mm] mit [mm] $p_{i, \sigma(i)} [/mm] = 1$ fuer eine Permutation [mm] $\sigma \in S_n$.
[/mm]
Dann ist der untere linke Eintrag von $P A [mm] P^T$ [/mm] durch [mm] $a_{\sigma(n) \sigma(1)}$ [/mm] gegeben.
Wenn nun $A$ zerlegbar ist, dann muss dieser Eintrag 0 sein, womit [mm] $a_{i j} [/mm] = 0$ ist fuer $i = [mm] \sigma(n)$, [/mm] $j = [mm] \sigma(1)$ [/mm] und $i [mm] \neq [/mm] j$.
Hast du dagegen [mm] $a_{ij} [/mm] = 0$ fuer $i, j$ mit $i [mm] \neq [/mm] j$, so kannst du immer eine Permutation [mm] $\sigma \in S_n$ [/mm] finden mit [mm] $\sigma(n) [/mm] = i$, [mm] $\sigma(1) [/mm] = j$, und wenn $P$ die Matrix ist die zu [mm] $\sigma$ [/mm] gehoert, dann hat $P A [mm] P^T$ [/mm] eine Null unten links.
Also gilt: $A$ zerlegbar [mm] $\Leftrightarrow \exists [/mm] i, j : [mm] a_{ij} [/mm] = 0 [mm] \wedge [/mm] i [mm] \neq [/mm] j$
Oder umgangssprachlich: $A$ ist genau dann zerlegbar, wenn $A$ eine 0 ausserhalb der Diagonalen hat.
LG Felix
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