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| Aufgabe | V1: 4 Maschinen à Leistung a, Aufallwahrscheinlichkeit: 0,07
V2: 6 Maschinen à Leistung b, Aufallwahrscheinlichkeit: 0,15
Bei V1 sind für die Produktion mind. 2 Maschinen erforderlich, bei V2 3 Stück.
Es soll eine Produktionssicherheit von 99% gewährleistet sein.
Der Ausfall einer Maschine soll als unabhängig betrachtet werden.
a) Wird die Sicherheitsauflage erfüllt?
b) Bei V1 steigt die Ausfallwahrscheinlichkeit der verbleibenden Maschinen um 0,1, falls bereits eine Maschine schon ausgefallen ist. Wird die Sicherheitsauflage immer noch erfüllt? |
Hallo zusammen,
zuerst: Was bedeutet "Der Ausfall einer Maschine soll als unabhängig betrachtet werden." ?
Einfach das Gegenteil von b), also dass wenn eine Maschine ausfällt nichts weiter passiert?
zu a)
ich hab das mit der Binomialverteilung gerechnet:
[mm]P_1 = \vektor{4 \\ 3} * 0,07^3 * 0,93^1 + \vektor{4 \\ 4} * 0,07^4 * 0,93^0 = 0,00128[/mm]
[mm]P_2 = 0,00589[/mm]
Ich nehme mal an, dass somit beide Varianten ok sind.
zu b)
auf dem Aufgabenblatt ist noch ein Vermerk "hoher Schwierigkeitsgrad", nun habe ich auch wirklich keinen Schimmer, wie man die Bedingung mit einbaut.
Bin für jeden Tipp dankbar.
Grüße
Slartibartfast
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Mi 25.07.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Slartibartfast,
> zuerst: Was bedeutet "Der Ausfall einer Maschine soll als
> unabhängig betrachtet werden." ?
> Einfach das Gegenteil von b), also dass wenn eine Maschine
> ausfällt nichts weiter passiert?
ich verstehe die Voraussetzung der Unabhaengigkeit so, dass der Ausfall
einer Maschine keine Auswirkungen hat auf die Funktionsfaehigkeit der
anderen.
>
> zu a)
> ich hab das mit der Binomialverteilung gerechnet:
> [mm]P_1 = \vektor{4 \\ 3} * 0,07^3 * 0,93^1 + \vektor{4 \\ 4} * 0,07^4 * 0,93^0 = 0,00128[/mm]
>
> [mm]P_2 = 0,00589[/mm]
> Ich nehme mal an, dass somit beide Varianten
> ok sind.
Was mich bei der Rechnung irritiert ist der Umstand, dass du anscheinend
nur fuer V1 argumentierst. Ich verstehe die Aufgabe so, dass nur dann
produziert werden kann, wenn mindestens 2 Maschinen von V1 und 3
Maschinen von V2 intakt sind. Bezeichnet $X$ bzw. $Y$ die Anzahl
intakter Maschinen bei V1 bzw. V2, so ist $X$ bzw. $Y$ wegen der
Unabhaengigkeit binomialverteilt mit [mm] $n_1=4$ [/mm] und [mm] $p_1=0.93$ [/mm] bzw. [mm] $n_2=6$
[/mm]
und [mm] $p_2=0.85$. [/mm] Die Anlage kann produzieren, wenn das Ereignis $(X [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \cap [/mm] Y [mm] \ge [/mm] 3)$
eintritt. Abermals wegen der Unabhaengkeit erhalte *ich*
$P(X [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \cap [/mm] Y [mm] \ge [/mm] 3)=P(X [mm] \ge [/mm] 2)P(Y [mm] \ge [/mm] 3)=0.9928$.
>
> zu b)
> auf dem Aufgabenblatt ist noch ein Vermerk "hoher
> Schwierigkeitsgrad", nun habe ich auch wirklich keinen
> Schimmer, wie man die Bedingung mit einbaut.
> Bin für jeden Tipp dankbar.
Bei b) kann man wie folgt argumentieren. Im obigen Ansatz ist
$P(X [mm] \ge 2)=1-P(X\le [/mm] 1)=P(X=0)+P(X=1)$ betroffen. Das Ereignis $(X=0)$
bedeutet, dass alle Maschinen einwandfrei arbeiten, und diese
Wahrscheinlichkeit ist [mm] $0.93^4$. [/mm] Das Ereignis $(X=1)$
bedeutet, dass genau eine Maschine von V1 defekt ist. Es bezeichne
[mm] $M_j$ [/mm] das Ereignis, dass Maschine $j$ intakt ist. Dann ist
[mm] $P(X=1)=P(\overline{M_1}\cap M_2\cap M_3\cap M_4)+ P(M_1\cap\overline{M_2}\cap M_3\cap M_4)+P(M_1\cap M_2\cap\overline{M_3}\cap M_4) +P(M_1\cap M_2\cap M_3\cap\overline{M_4})$
[/mm]
Fuer [mm] $P(\overline{M_1}\cap M_2\cap M_3\cap M_4)$ [/mm] ergibt sich
[mm] $P(\overline{M_1}\cap M_2\cap M_3\cap M_4)=P(M_2\cap M_3\cap M_4\mid\overline{M_1})P(\overline{M_1})=0.83^3\times0.07$.
[/mm]
Dasselbe Ergebnis erhaelt man fuer die anderen Ereignisse, so dass
folgt [mm] $P(X=1)=4\times0.83^3\times0.07$. [/mm] In diesem Fall erhalte *ich*
insgesamt $(X [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \cap [/mm] Y [mm] \ge [/mm] 3)=0.8349$.
lg
Luis
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Sorry, da hab ich mich zu ungenau ausgedrückt. Wenn man allein damit arbeitet und versucht es jemand anders zu beschreiben, dann setzt man dummerweise manche Tatsachen schon vorraus.
Es soll gelten: Entweder V1 oder V2, das sind 2 voneinander unabhängige Maschinenzusammenstellungen, für die jeweils getestet werden soll.
Und zu meiner Rechnung a):
Ich hab die Ausfallwahrscheinlichkeit berechnet, nicht die Produktionswahrscheinlichkeit.
zu b)
leider komme ich da mit deiner Schreibweise nicht ganz klar, was ist zB [mm] \overline{M} [/mm] und [mm] P(M_1 \cap M_2 \cap M_3->|<- M_4)?
[/mm]
Gruß
Slartibartfast
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:01 Mi 25.07.2007 | | Autor: | luis52 |
> leider komme ich da mit deiner Schreibweise nicht ganz
> klar, was ist zB [mm]\overline{M}[/mm]
Das bedeutet, dass $M$ nicht eintritt.
> und [mm]P(M_1 \cap M_2 \cap M_3->|<- M_4)?[/mm]
Das ist eine Bedingung: [mm] $M_1$ [/mm] und [mm] $M_2$ [/mm] und [mm] $M_3$ [/mm] treten
ein, wenn bekannt ist, dass [mm] $M_4$ [/mm] eintritt.
lg
Luis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 Fr 27.07.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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