Reduktionsverfahren < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Lösen Sie das Anfangswertproblem
[mm] y'=\pmat{\bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1}y+\pmat{-(t-1)^2 \\ 0}, y(0)=\pmat{1 \\ -2}.
[/mm]
(Tipp: Durch Ansatz von y als Polynom findet man eine Lösung des homogenen Systems und mit dem d´Alembertschen Reduktionsverfahren dann ein Fundamentalsystem.) |
Ich habe eine wichtige Frage:
Könnte mir bitte jemand folgende Aufgabe mal vorrechnen, sie soll nur zu Übungszwecken dienen und es ist sehr wichtig, dass ich diese Aufgabe genau verstehe. Ich weiß, es ist nicht das Prinzip, dass hier vorgerechnet wird, aber anders komme ich nicht mehr weiter. An dieser Aufgabe habe ich mich schon wahnsinnig gerechnet und brauche jetzt endlich eine Lösung, sonst drehe ich noch durch.
Wer meine Beiträge verfolgt, weiß, dass ich sonst selbst rechne.
Ich würde nicht so betteln, wenn es nicht wirklich ernst wäre.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:50 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe mich wohl zu unhöflich ausgedrückt.
Das wollte ich nicht, ich bin nur besorgt, weil ich diese Aufgabe nicht hinbekomme und sie sehr wichtig ist.
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Hallo dennis2,
> Lösen Sie das Anfangswertproblem
>
> [mm]y'=\pmat{\bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1}y+\pmat{-(t-1)^2 \\ 0}, y(0)=\pmat{1 \\ -2}.[/mm]
>
>
> (Tipp: Durch Ansatz von y als Polynom findet man eine
> Lösung des homogenen Systems und mit dem d´Alembertschen
> Reduktionsverfahren dann ein Fundamentalsystem.)
> Ich habe eine wichtige Frage:
> Könnte mir bitte jemand folgende Aufgabe mal vorrechnen,
> sie soll nur zu Übungszwecken dienen und es ist sehr
> wichtig, dass ich diese Aufgabe genau verstehe. Ich weiß,
> es ist nicht das Prinzip, dass hier vorgerechnet wird, aber
> anders komme ich nicht mehr weiter. An dieser Aufgabe habe
> ich mich schon wahnsinnig gerechnet und brauche jetzt
> endlich eine Lösung, sonst drehe ich noch durch.
Lass uns doch an Deinen bisherigen Rechnungen teilhaben.
>
> Wer meine Beiträge verfolgt, weiß, dass ich sonst selbst
> rechne.
>
>
> Ich würde nicht so betteln, wenn es nicht wirklich ernst
> wäre.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:18 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Okay.
Zunächst habe ich das Ganze so geschrieben:
[mm] \pmat{y_1 \\ y_2}'=\pmat{\bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1}\pmat{y_1 \\ y_2}+\pmat{-(t-1)^2 \\ 0}
[/mm]
Daraus folgt:
[mm] y_1'=\bruch{t+1}{t-1}y_1+y_2
[/mm]
[mm] y_2'=y_1+y_2
[/mm]
Umformen liefert:
[mm] y_1=y_2'-y_2, [/mm] also [mm] y_1'=y_2''-y_2'.
[/mm]
Weiter
[mm] y_2''-y_2=y_1'=\bruch{t+1}{t-1}y_1+y_2=\bruch{t+1}{t-1}(y_2'-y_2)+y_2
[/mm]
[mm] \gdw y_2''-y_2'-y_2=\bruch{t+1}{t-1}(y_2'-y_2)
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{y_2''-y_2'-y_2}{y_2'-y_2}=\bruch{t+1}{t-1}
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{y_2''-y_2'-y_2}{y_2'-y_2}-\bruch{t+1}{t-1}=0
[/mm]
Polynomansatz: y(t)=at+b
Also
[mm] \bruch{y_2(t)''-y_2(t)'-y_2(t)}{y_2(t)'-y_2(t)}-\bruch{t+1}{t-1}=\bruch{0-a-(at+b)}{-at+b}-\bruch{t+1}{t-1}=\bruch{-a-at-b}{-at+b}-\bruch{t+1}{t-1}
[/mm]
[Ab hier habe ich nichtmal mehr schlechte Ideen.] |
Ich habe ja vorgewarnt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:23 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe leider die Befürchtung, dass ich zu spät eine Hilfe bekommen werde, denn ich muss - wie sich jetzt erst herausgestellt hat - diese Aufgabe doch abgeben und zwar schon morgen Früh.
Aber ich freue mich natürlich trotzdem über jede Hilfe, denn wissen möchte ich die Lösung so oder so.
LG dennis2
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Hallo dennis2,
> Okay.
>
> Zunächst habe ich das Ganze so geschrieben:
>
> [mm]\pmat{y_1 \\ y_2}'=\pmat{\bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1}\pmat{y_1 \\ y_2}+\pmat{-(t-1)^2 \\ 0}[/mm]
>
> Daraus folgt:
> [mm]y_1'=\bruch{t+1}{t-1}y_1+y_2[/mm]
> [mm]y_2'=y_1+y_2[/mm]
>
> Umformen liefert:
> [mm]y_1=y_2'-y_2,[/mm] also [mm]y_1'=y_2''-y_2'.[/mm]
>
> Weiter
>
> [mm]y_2''-y_2=y_1'=\bruch{t+1}{t-1}y_1+y_2=\bruch{t+1}{t-1}(y_2'-y_2)+y_2[/mm]
>
> [mm]\gdw y_2''-y_2'-y_2=\bruch{t+1}{t-1}(y_2'-y_2)[/mm]
> [mm]\gdw \bruch{y_2''-y_2'-y_2}{y_2'-y_2}=\bruch{t+1}{t-1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \bruch{y_2''-y_2'-y_2}{y_2'-y_2}-\bruch{t+1}{t-1}=0[/mm]
>
> Polynomansatz: y(t)=at+b
>
> Also
>
> [mm]\bruch{y_2(t)''-y_2(t)'-y_2(t)}{y_2(t)'-y_2(t)}-\bruch{t+1}{t-1}=\bruch{0-a-(at+b)}{-at+b}-\bruch{t+1}{t-1}=\bruch{-a-at-b}{-at+b}-\bruch{t+1}{t-1}[/mm]
>
>
> [Ab hier habe ich nichtmal mehr schlechte Ideen.]
>
> Ich habe ja vorgewarnt.
Wähle bei der homogenen DGL
[mm]\pmat{y_1 \\ y_2}'=\pmat{\bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1}\pmat{y_1 \\ y_2}[/mm]
den Ansatz
[mm]y\left(t\right)=\pmat{y_{1}\left(t\right) \\ y_{2}\left(t\right) }=\pmat{a*t+b \\ c*t+d}[/mm]
Klar ist auch, daß die erste Komponente von [mm]y\left(t\right)[/mm]
ein Polynom in t-1 sein muss, da der Nenner t-1 lautet.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:39 So 28.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Das übersteigt meinen Horizont und sind böhmische Dörfer für mich. Ich bedanke mich aber für die rasche Reaktion.
Manchmal soll es nicht sein. |
Beim nächsten Mal klappts vielleicht wieder.
[Mir fällt gerade auf, dass ich das vllt. besser als Mitteilung und nicht als Frage hätte wählen sollen.]
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Hallo dennis2,
> Das übersteigt meinen Horizont und sind böhmische Dörfer
Schade, daß Du schon aufgibst.
> für mich. Ich bedanke mich aber für die rasche Reaktion.
>
> Manchmal soll es nicht sein.
>
> Beim nächsten Mal klappts vielleicht wieder.
>
> [Mir fällt gerade auf, dass ich das vllt. besser als
> Mitteilung und nicht als Frage hätte wählen sollen.]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:16 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Ich habe nicht vor, aufzugeben.
Ich verstehe aber Deinen Ansatz nicht.
Z.B.--- was ist gemeint mit "...ein Polynom in t-1"...
Dass man [mm] y_1 [/mm] und [mm] y_2 [/mm] als at+b bzw. ct+d schreibt, ist mir noch einigermaßen verständlich. Ab da hört es dann aber auch schon auf.
[Und ich war halt ein bisschen missgelaunt; wie gesagt, ich habe ewig daran gerechnet und es ist deprimierend, wenn man dann am Ende wieder nichts Vernünftiges abgeben kann, das einem ein paar Punkte einbringt.]
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Hallo dennis2,
> Ich habe nicht vor, aufzugeben.
>
> Ich verstehe aber Deinen Ansatz nicht.
>
> Z.B.--- was ist gemeint mit "...ein Polynom in t-1"...
Ich geh davon aus, daß eine Lösung des homogenen DGL-Systems ein ganzrationales Polynom ist.
Danach muß [mm]y_{1}\left(t\right)=\left(t-1\right)*p\left(t\right)[/mm] sein,
wobei [mm]p\left(t\right)[/mm] wiederum ein ganzrationales Polynom ist.
>
> Dass man [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] als at+b bzw. ct+d schreibt, ist mir
> noch einigermaßen verständlich. Ab da hört es dann aber
> auch schon auf.
>
Als Hinweis ist gegeben, daß man y als Polynom ansetzen soll,
um eine Lösung der homogenen DGL zu finden.
Nun, setze den Ansatz
[mm]y \left(t\right)=\pmat{y_{1}\left(t\right) \\ y_{2}\left(t\right)}=\pmat{a*t+b \\ c*t+d}[/mm]
in das homogene DGL-System
[mm]y'=\pmat{\bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1}*y[/mm]
ein.
>
> [Und ich war halt ein bisschen missgelaunt; wie gesagt, ich
> habe ewig daran gerechnet und es ist deprimierend, wenn man
> dann am Ende wieder nichts Vernünftiges abgeben kann, das
> einem ein paar Punkte einbringt.]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Mo 29.11.2010 | | Autor: | dennis2 |
Es hat sich erledigt.
Danke für die nochmalige Hilfe.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:44 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | | Es ist zwar schon länger her, aber ich möchte trotzdem nochmal was nachfragen: |
> Hallo dennis2,
>
> > Ich habe nicht vor, aufzugeben.
> >
> > Ich verstehe aber Deinen Ansatz nicht.
> >
> > Z.B.--- was ist gemeint mit "...ein Polynom in t-1"...
>
>
> Ich geh davon aus, daß eine Lösung des homogenen
> DGL-Systems ein ganzrationales Polynom ist.
>
> Danach muß
> [mm]y_{1}\left(t\right)=\left(t-1\right)*p\left(t\right)[/mm] sein,
> wobei [mm]p\left(t\right)[/mm] wiederum ein ganzrationales Polynom
> ist.
>
>
> >
> > Dass man [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] als at+b bzw. ct+d schreibt, ist mir
> > noch einigermaßen verständlich. Ab da hört es dann aber
> > auch schon auf.
> >
>
>
> Als Hinweis ist gegeben, daß man y als Polynom ansetzen
> soll,
> um eine Lösung der homogenen DGL zu finden.
>
> Nun, setze den Ansatz
>
> [mm]y \left(t\right)=\pmat{y_{1}\left(t\right) \\ y_{2}\left(t\right)}=\pmat{a*t+b \\ c*t+d}[/mm]
>
> in das homogene DGL-System
>
> [mm]y'=\pmat{\bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1}*y[/mm]
>
> ein.
Okay, dann komme ich auf:
[mm] a=\bruch{t+1}{t-1}\cdot [/mm] (at+b)+ct+d
c=at+b+ct+d
Wie komme ich damit jetzt auf eine Lösung des gegebenen homogenen Diffenrezialgleichungssystems?
>
>
> >
> > [Und ich war halt ein bisschen missgelaunt; wie gesagt, ich
> > habe ewig daran gerechnet und es ist deprimierend, wenn man
> > dann am Ende wieder nichts Vernünftiges abgeben kann, das
> > einem ein paar Punkte einbringt.]
>
>
> Gruss
> MathePower
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Hallo dennis2,
> Es ist zwar schon länger her, aber ich möchte trotzdem
> nochmal was nachfragen:
> > Hallo dennis2,
> >
> > > Ich habe nicht vor, aufzugeben.
> > >
> > > Ich verstehe aber Deinen Ansatz nicht.
> > >
> > > Z.B.--- was ist gemeint mit "...ein Polynom in t-1"...
> >
> >
> > Ich geh davon aus, daß eine Lösung des homogenen
> > DGL-Systems ein ganzrationales Polynom ist.
> >
> > Danach muß
> > [mm]y_{1}\left(t\right)=\left(t-1\right)*p\left(t\right)[/mm] sein,
> > wobei [mm]p\left(t\right)[/mm] wiederum ein ganzrationales
> Polynom
> > ist.
> >
> >
> > >
> > > Dass man [mm]y_1[/mm] und [mm]y_2[/mm] als at+b bzw. ct+d schreibt, ist mir
> > > noch einigermaßen verständlich. Ab da hört es dann aber
> > > auch schon auf.
> > >
> >
> >
> > Als Hinweis ist gegeben, daß man y als Polynom ansetzen
> > soll,
> > um eine Lösung der homogenen DGL zu finden.
> >
> > Nun, setze den Ansatz
> >
> > [mm]y \left(t\right)=\pmat{y_{1}\left(t\right) \\ y_{2}\left(t\right)}=\pmat{a*t+b \\ c*t+d}[/mm]
>
> >
> > in das homogene DGL-System
> >
> > [mm]y'=\pmat{\bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1}*y[/mm]
> >
> > ein.
>
> Okay, dann komme ich auf:
>
> [mm]a=\bruch{t+1}{t-1}\cdot[/mm] (at+b)+ct+d
Das kannst Du jetzt auf den Hauptnenner bringen,
und dann die Koeffizienten miteinander vergleichen.
> c=at+b+ct+d
>
> Wie komme ich damit jetzt auf eine Lösung des gegebenen
> homogenen Diffenrezialgleichungssystems?
> >
> >
> > >
> > > [Und ich war halt ein bisschen missgelaunt; wie gesagt, ich
> > > habe ewig daran gerechnet und es ist deprimierend, wenn man
> > > dann am Ende wieder nichts Vernünftiges abgeben kann, das
> > > einem ein paar Punkte einbringt.]
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:06 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Meinst Du:
[mm] a=\bruch{(at+b)\cdot (t+1)+(t-1)\cdot (ct+d)}{t-1} [/mm] ?
Wo kann man nun Koeffizienten vergleichen?
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Hallo dennis2,
> Meinst Du:
>
> [mm]a=\bruch{(at+b)\cdot (t+1)+(t-1)\cdot (ct+d)}{t-1}[/mm] ?
Ja.
>
> Wo kann man nun Koeffizienten vergleichen?
>
>
Wenn Du das jetzt mit dem Hauptnenner durchmultiplizierst,
und anschliessend die rechte Seite ausmultiplizierst, dann
kannst Du die Koeffizienten vergleichen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:21 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Es tut mir leid, wenn ich mich so blöd anstelle:
[mm] a\cdot (t-1)=a\cdot [/mm] t [mm] \cdot (t+1)+b\cdot (t+1)+c\cdot \cdot t\cdot (t-1)+d\cdot [/mm] (t-1)
Also:
[mm] at-a=at^2+at+bt+b+ct^2-ct+dt-d?
[/mm]
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Hallo dennis2,
> Es tut mir leid, wenn ich mich so blöd anstelle:
>
> [mm]a\cdot (t-1)=a\cdot[/mm] t [mm]\cdot (t+1)+b\cdot (t+1)+c\cdot \cdot t\cdot (t-1)+d\cdot[/mm]
> (t-1)
>
> Also:
>
> [mm]at-a=at^2+at+bt+b+ct^2-ct+dt-d?[/mm]
Ja.
Lies Dir mal das durch: ![[]](/images/popup.gif) Koeffizientenvergleich
Kurzum, die Koeffizienten vor [mm]t^{k}, \ k=0,1,2[/mm] auf der linken Seite
der Gleichung sind mit den ensprechenden Koeffizienten auf
der rechten Seite der Gleichung zu vergleichen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
> > [mm]at-a=at^2+at+bt+b+ct^2-ct+dt-d?[/mm]
>
> Kurzum, die Koeffizienten vor [mm]t^{k}, \ k=0,1,2[/mm] auf der
> linken Seite
> der Gleichung sind mit den ensprechenden Koeffizienten
> auf
> der rechten Seite der Gleichung zu vergleichen.
Okay, das klingt nicht schwer.
Dennoch habe ich meine Probleme.
Die Koeffizienten vor t:
linke Seite: a
rechte Seite: a, b, -c, d
Die Koeffizienten vor [mm] t^2:
[/mm]
linke Seite: 0
rechte Seite: a, c
Die Koeffizienten vor [mm] t^0:
[/mm]
linke Seite: -a
rechte Seite: b, -d
Und weiter?
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Hallo dennis2,
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> > > [mm]at-a=at^2+at+bt+b+ct^2-ct+dt-d?[/mm]
> >
> > Kurzum, die Koeffizienten vor [mm]t^{k}, \ k=0,1,2[/mm] auf der
> > linken Seite
> > der Gleichung sind mit den ensprechenden Koeffizienten
> > auf
> > der rechten Seite der Gleichung zu vergleichen.
>
> Okay, das klingt nicht schwer.
> Dennoch habe ich meine Probleme.
>
> Die Koeffizienten vor t:
> linke Seite: a
> rechte Seite: a, b, -c, d
>
> Die Koeffizienten vor [mm]t^2:[/mm]
> linke Seite: 0
> rechte Seite: a, c
>
> Die Koeffizienten vor [mm]t^0:[/mm]
> linke Seite: -a
> rechte Seite: b, -d
Das schreibst Du zunächst in Gleichungsform hin,
und erhältst dann Gleichungen, die die Koeffizienten
erfüllen müssen.
Daraus ergibt sich dann eine Lösung der homogenen DGL.
>
> Und weiter?
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
> Das schreibst Du zunächst in Gleichungsform hin,
> und erhältst dann Gleichungen, die die Koeffizienten
> erfüllen müssen.
>
> Daraus ergibt sich dann eine Lösung der homogenen DGL.
a=a+b-c+d
0=a+c
-a=b-d
?
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Hallo dennis2,
> > Das schreibst Du zunächst in Gleichungsform hin,
> > und erhältst dann Gleichungen, die die Koeffizienten
> > erfüllen müssen.
> >
> > Daraus ergibt sich dann eine Lösung der homogenen DGL.
>
> a=a+b-c+d
> 0=a+c
> -a=b-d
>
> ?
Das ist richtig.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Aber ich weiß immer noch nicht, was daraus nun folgt.
Tut mir leid.
Kannst Du nicht vielleicht das Ergebnis sagen?
Ich mache hier ja alle wahnsinnig.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:22 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Also der Taschenrechner sagt mir:
a=-1
b=1
c=1
d=0
Also [mm] y_1(t)=-t+1; y_2(t)=t
[/mm]
Das stimmt auch, wenn man diese Lösung in das homogene Differenzialgleichungssystem einsetzt:
[mm] \pmat{ -t+1 \\ t }'=\pmat{ -1 \\ 1 }=\pmat{ \bruch{t+1}{t-1} & 1 \\ 1 & 1 }\cdot \vektor{ -t+1 \\ t }=\vektor{ -1 \\ 1 }
[/mm]
Ich steh aber gerade auf dem Schlauch und sehe nicht, wie man ohne Taschenrechner darauf kommt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Sa 02.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
du kannst doch sicher das einfachr GS loesen?
dann kennst du z. bsp b,c,d in Abh. von a
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich glaub, ich kann im Moment nichtmal 1+1 rechnen.
Also die Lösung habe ich gefunden (s. Mitteilung), ich weiß aber gerade nicht, wie man darauf kommt.
Bitte noch eine Hilfe.
Also man weiß:
a=a+b-c+d
0=a+c
-a=b-d
Wie formt man jetzt um?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:49 Sa 02.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
1,a=a+b-c+d b-c+d=0
2.0=a+c c =-a 1. u 2. b+a+d=0
-a=b-d -b-a+d=0
addiert: 2d=0 d=0 b=-a
fertig
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 Sa 02.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Vielen lieben Dank an
MathePower und leduart
für die sehr geduldige Hilfe!!!
Das war eine schwere Geburt, jetzt habe ichs aber begriffen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:18 So 03.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ich möchte gerne noch die Aufgabe beenden.
Eine von Null verschiedene Lösung ist also, wie sich nach langem Nachfragen ergeben hat:
[mm] x(t)=\vektor{ -t+1 \\ t }.
[/mm]
Mit dem d'Alembertschen Reduktionsverfahren soll nun eine weitere (von der ersten Lösung linear unabhängige) Lösung gefunden werden. Der Ansatz dieses Verfahrens lautet ja:
[mm] y(t)=\phi(t)x(t)+z(t) [/mm] mit [mm] z(t)=\vektor{ 0 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n }
[/mm]
Bei dieser Aufgabe muss man nur [mm] z_2 [/mm] bestimmen und natürlich [mm] \phi(t).
[/mm]
[mm] z_2'=(\bruch{1}{t-1}+2)\cdot z_2
[/mm]
Eine Lösung hiervon ist [mm] z_2(t)=(t-1)\cdot e^{2t}, [/mm] also
[mm] z(t)=\vektor{ 0 \\ (t-1)\cdot e^{2t} }.
[/mm]
Bleibt noch, [mm] \phi(t) [/mm] zu bestimmen. Auch hier wende ich einfach die entsprechende Formel an, die ich zum Reduktionsverfahren von Alembert gefunden habe:
[mm] \phi(t)=\integral \bruch{1}{-t+1}\cdot (t-1)\cdot e^{2t} dt=\int -e^{2t} dt=\bruch{-e^{2t}}{2}
[/mm]
Somit [mm] y(t)=\bruch{-e^{2t}}{2}\cdot \vektor{ -t+1 \\ t }+\vektor{ 0 \\ (t-1)\cdot e^{2t} }=\vektor{ \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }
[/mm]
Die Fundamentalmatrix lautet dann:
[mm] Y(t)=\pmat{ -t+1 & \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ t & (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }
[/mm]
Jetzt bleibt noch das Anfangswertproblem zu lösen, gegeben war:
[mm] y(0)=\vektor{ 1 \\ -2 }
[/mm]
Allgemeine Lösung ist ja: [mm] y(t)=Y(t)\cdot [/mm] c, das bedeutet:
[mm] c=Y(t_0)^{-1}\cdot \vektor{ 1 \\ -2 }, [/mm] das heißt:
[mm] c=\pmat{ 1 & -\bruch{1}{2} \\ 0 & -1 }\cdot \vektor{ 1 \\ -2 }=\vektor{ 2 \\ 2 }
[/mm]
Somit lautet die Lösung für das Anfangswertproblem
[mm] y(t)=\pmat{ -t+1 & \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ t & (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }\cdot \vektor{ 2 \\ 2 }=\pmat{ (t-1)\cdot e^{2t}-2\cdot (t-1) \\ (t-2)\cdot e^{2t}+2t }
[/mm]
Ich hoffe, ich habe mich nirgends verrechnet, ansonsten freue ich mich natürlich über Korrekturen. Ich möchte aber niemandem zumuten, das nachzurechnen.
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Hallo dennis2,
> Ich möchte gerne noch die Aufgabe beenden.
> Eine von Null verschiedene Lösung ist also, wie sich nach
> langem Nachfragen ergeben hat:
>
> [mm]x(t)=\vektor{ -t+1 \\ t }.[/mm]
>
> Mit dem d'Alembertschen Reduktionsverfahren soll nun eine
> weitere (von der ersten Lösung linear unabhängige)
> Lösung gefunden werden. Der Ansatz dieses Verfahrens
> lautet ja:
>
> [mm]y(t)=\phi(t)x(t)+z(t)[/mm] mit [mm]z(t)=\vektor{ 0 \\ z_2 \\ \vdots \\ z_n }[/mm]
>
> Bei dieser Aufgabe muss man nur [mm]z_2[/mm] bestimmen und
> natürlich [mm]\phi(t).[/mm]
>
> [mm]z_2'=(\bruch{1}{t-1}+2)\cdot z_2[/mm]
>
> Eine Lösung hiervon ist [mm]z_2(t)=(t-1)\cdot e^{2t},[/mm] also
> [mm]z(t)=\vektor{ 0 \\ (t-1)\cdot e^{2t} }.[/mm]
>
> Bleibt noch, [mm]\phi(t)[/mm] zu bestimmen. Auch hier wende ich
> einfach die entsprechende Formel an, die ich zum
> Reduktionsverfahren von Alembert gefunden habe:
>
> [mm]\phi(t)=\integral \bruch{1}{-t+1}\cdot (t-1)\cdot e^{2t} dt=\int -e^{2t} dt=\bruch{-e^{2t}}{2}[/mm]
>
> Somit [mm]y(t)=\bruch{-e^{2t}}{2}\cdot \vektor{ -t+1 \\ t }+\vektor{ 0 \\ (t-1)\cdot e^{2t} }=\vektor{ \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }[/mm]
>
> Die Fundamentalmatrix lautet dann:
>
> [mm]Y(t)=\pmat{ -t+1 & \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ t & (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }[/mm]
>
Bis hierhin ist alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Bevor Du das Anfangswertproblem lösen kannst,
musst Du erst eine partikuläre Lösung bestimmen,
denn bei dem DGL-System handelt es sich um
ein inhomogenes DGL-System.
>
> Jetzt bleibt noch das Anfangswertproblem zu lösen, gegeben
> war:
>
> [mm]y(0)=\vektor{ 1 \\ -2 }[/mm]
>
> Allgemeine Lösung ist ja: [mm]y(t)=Y(t)\cdot[/mm] c, das bedeutet:
>
> [mm]c=Y(t_0)^{-1}\cdot \vektor{ 1 \\ -2 },[/mm] das heißt:
>
> [mm]c=\pmat{ 1 & -\bruch{1}{2} \\ 0 & -1 }\cdot \vektor{ 1 \\ -2 }=\vektor{ 2 \\ 2 }[/mm]
>
>
> Somit lautet die Lösung für das Anfangswertproblem
>
> [mm]y(t)=\pmat{ -t+1 & \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ t & (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }\cdot \vektor{ 2 \\ 2 }=\pmat{ (t-1)\cdot e^{2t}-2\cdot (t-1) \\ (t-2)\cdot e^{2t}+2t }[/mm]
>
>
>
> Ich hoffe, ich habe mich nirgends verrechnet, ansonsten
> freue ich mich natürlich über Korrekturen. Ich möchte
> aber niemandem zumuten, das nachzurechnen.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:06 Mo 04.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Ah, stimmt ja!
Das habe ich ganz übersehen, dass da noch ein Störglied ist.
Ich werde versuchen, diesen Fehler wettzumachen.
Ich meine mich zu erinnern, dass es da auch direkt eine Formel für die Lösung des inhomogenen Differenzialgleichungssystems gibt, sofern man die Fundamentalmatrix kenne, was hier ja nach dem bisherigen Rechnen der Fall ist.
Muss ich mal raussuchen.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:56 Mo 04.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Die allgemeine Lösung von y'=A(t)y+b(t) lautet m.W.
[mm] y(t)=Y(t)c+Y(t)\integral_{t_0}^{t} Y(s)^{-1} [/mm] b(s) ds.
Demnach für die Aufgabe:
[mm] y(t)=\pmat{ -t+1 & \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ t & (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }\cdot [/mm] c [mm] +\pmat{ -t+1 & \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ t & (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }\integral_{t_0}^t \underbrace{\pmat{ \bruch{-(s-2)}{2\cdot (s-1)^2} & \bruch{1}{2\cdot (s-1)} \\ \bruch{s\cdot e^{-2s}}{(s-1)^2} & \bruch{e^{-2s}}{s-1} }\cdot \pmat{ -(s-1)^2 \\ 0 }}_{=\pmat{ \bruch{s-2}{2} \\ -s\cdot e^{-2s} }} [/mm] ds
Jedoch folgt doch weiterhin:
Möchte man den Anfangswert [mm] y(t_0)=u [/mm] erreichen, ist [mm] c=Y(t_0)^{-1}u [/mm] zu rechnen, also für diese Aufgabe würde ich wieder [mm] c=\vektor{ 2 \\ 2 } [/mm] herausbekommen; dieses c würde ich dann in obige Gleichung einsetzen und hätte die Lösung für das gestellte Anfangswertproblem.
Das könnte man bestimmt noch weiter ausrechnen, aber das lasse ich jetzt mal, das ist doch sehr aufwendig.
Liege ich nun richtig?
[Ich lasse mir auch gerne beschreiben, wie ich eine partikuläre Lösung finde; ich glaube aber, dass der Weg über die Formel einfacher ist.]
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Hallo dennis2,
> Die allgemeine Lösung von y'=A(t)y+b(t) lautet m.W.
>
> [mm]y(t)=Y(t)c+Y(t)\integral_{t_0}^{t} Y(s)^{-1}[/mm] b(s) ds.
>
> Demnach für die Aufgabe:
>
> [mm]y(t)=\pmat{ -t+1 & \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ t & (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }\cdot[/mm]
> c [mm]+\pmat{ -t+1 & \bruch{(t-1)\cdot e^{2t}}{2} \\ t & (\bruch{t}{2}-1)\cdot e^{2t} }\integral_{t_0}^t \underbrace{\pmat{ \bruch{-(s-2)}{2\cdot (s-1)^2} & \bruch{1}{2\cdot (s-1)} \\ \bruch{s\cdot e^{-2s}}{(s-1)^2} & \bruch{e^{-2s}}{s-1} }\cdot \pmat{ -(s-1)^2 \\ 0 }}_{=\pmat{ \bruch{s-2}{2} \\ -s\cdot e^{-2s} }}[/mm]
> ds
>
> Jedoch folgt doch weiterhin:
> Möchte man den Anfangswert [mm]y(t_0)=u[/mm] erreichen, ist
> [mm]c=Y(t_0)^{-1}u[/mm] zu rechnen, also für diese Aufgabe würde
> ich wieder [mm]c=\vektor{ 2 \\ 2 }[/mm] herausbekommen; dieses c
> würde ich dann in obige Gleichung einsetzen und hätte die
> Lösung für das gestellte Anfangswertproblem.
>
> Das könnte man bestimmt noch weiter ausrechnen, aber das
> lasse ich jetzt mal, das ist doch sehr aufwendig.
>
>
>
> Liege ich nun richtig?
Ja, damit liegst Du richtig.
> [Ich lasse mir auch gerne beschreiben, wie ich eine
> partikuläre Lösung finde; ich glaube aber, dass der Weg
> über die Formel einfacher ist.]
>
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:44 Mo 04.04.2011 | | Autor: | dennis2 |
Vielen Dank nochmal!
LG
Dennis
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