Reduktion DGL n-ter Ordnung < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:42 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Adri_an |
| Aufgabe | Man schreibe die Differenzialgleichung
[mm]y''=y'+xy^2[/mm]
als System erster Ordnung. |
Seid mir nicht böse, aber ich habe keinen Ansatz. Ich wälze den Forster Ana 2, mein Matheskript, nutze Wikipedia und ich verstehe es noch immer nicht.
Vielleicht kann mir jemand ein anderes Beispiel geben. Falls sie/er sich über mich nun aufregt und denkt, schon wieder einer/eine, die/der nur die Lösung haben will, dem/der sage ich nur:
"Humor ist der Knopf, der verhindert, dass uns der Kragen platzt." von Joachim Ringelnatz
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Adri_an,
> Man schreibe die Differenzialgleichung
> [mm]y''=y'+xy^2[/mm]
> als System erster Ordnung.
> Seid mir nicht böse, aber ich habe keinen Ansatz. Ich
> wälze den Forster Ana 2, mein Matheskript, nutze Wikipedia
> und ich verstehe es noch immer nicht.
Nun, führe ein paar neue Variablen ein:
[mm]y_{0}=y[/mm]
[mm]y_{1}=y'=y_{0}'[/mm]
und schreibe die obige DGL dann um.
> Vielleicht kann mir jemand ein anderes Beispiel geben.
> Falls sie/er sich über mich nun aufregt und denkt, schon
> wieder einer/eine, die/der nur die Lösung haben will,
> dem/der sage ich nur:
>
> "Humor ist der Knopf, der verhindert, dass uns der Kragen
> platzt." von Joachim Ringelnatz
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Adri_an |
Leider kann ich als Nicht-Mathematiker aus deiner Antwort Null Informationen ziehen, wenn du verstehst, was ich meine. Aber naja, so ist die Welt, trotzdem danke.
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Hallo Adri_an,
> Leider kann ich als Nicht-Mathematiker aus deiner Antwort
> Null Informationen ziehen, wenn du verstehst, was ich
> meine. Aber naja, so ist die Welt, trotzdem danke.
Beispiel:
Überführe die DGL 2. Ordnung
[mm]y''+2*y'+3y=0[/mm]
in ein System 1. Ordnung.
Dazu führen wir neue Variablen ein:
[mm]y_{0}=y[/mm]
[mm]y_{1}=y'=y_{0}' [/mm]
Dann haben wir folgendes DGL-System:
[mm]y_{0}'=y_{1}[/mm]
[mm]y_{1}'=-2*y_{1}-3*y_{0}[/mm]
Oder anders geschrieben:
[mm]\pmat{y_{0} \\ y_{1}}'=\pmat{0 & 1 \\ -3 & -2} \pmat{y_{0} \\ y_{1}}[/mm]
Gruß
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:06 Fr 13.02.2009 | | Autor: | Adri_an |
In Ordnung! Vielen Dank mathepower. Bitte noch einmal darüber schauen, ob das jetzt richtig ist:
Einführen von neuen Variablen:
[mm]y=y_0[/mm]
[mm]y'=y_1[/mm]
DGL-System erster Ordnung aufschreiben:
[mm]y_0'=y_1[/mm]
[mm]y_1'=y_1+xy_0^2[/mm]
Bzw. anders dargestellt:
[mm]
\vektor{y_0 \\ y_1}'=\pmat{ 0 & 1 \\ xy_0 & 1 }
\vektor{y_0 \\ y_1}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:49 Sa 14.02.2009 | | Autor: | Adri_an |
> Bitte noch einmal
> darüber schauen, ob das jetzt richtig ist:
>
> Einführen von neuen Variablen:
>
> [mm]y=y_0[/mm]
>
> [mm]y'=y_1[/mm]
>
> DGL-System erster Ordnung aufschreiben:
>
> [mm]y_0'=y_1[/mm]
>
> [mm]y_1'=y_1+xy_0^2[/mm]
>
> Bzw. anders dargestellt:
>
> [mm]
\vektor{y_0 \\ y_1}'=\pmat{ 0 & 1 \\ xy_0 & 1 }
\vektor{y_0 \\ y_1}
[/mm]
>
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Hallo Adri_an,
> > Bitte noch einmal
> > darüber schauen, ob das jetzt richtig ist:
> >
> > Einführen von neuen Variablen:
> >
> > [mm]y=y_0[/mm]
> >
> > [mm]y'=y_1[/mm]
> >
> > DGL-System erster Ordnung aufschreiben:
> >
> > [mm]y_0'=y_1[/mm]
> >
> > [mm]y_1'=y_1+xy_0^2[/mm]
> >
> > Bzw. anders dargestellt:
> >
> > [mm]
\vektor{y_0 \\ y_1}'=\pmat{ 0 & 1 \\ xy_0 & 1 }
\vektor{y_0 \\ y_1}
[/mm]
>
> >
> >
>
Ok, das ist richtig.
Besser ist das System erster Ordnung in der Form
[mm]y_0'=y_1[/mm]
[mm]y_1'=y_1+xy_0^2[/mm]
stehen zu lassen.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Sa 30.10.2010 | | Autor: | gollum13 |
Wie kann ich in einem solchen Fall Picard-Lindelöf anwenden?
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Hallo gollum13,
> Wie kann ich in einem solchen Fall Picard-Lindelöf
> anwenden?
Ich bezeichne mit
[mm]y_{i,k}[/mm] die k. te Iterierte von [mm]y_{i}, \ i=0,1[/mm]
Und mit
[mm]y\left(x_{0}\right)=y_{0,0}[/mm]
[mm]y'\left(x_{0}\right)=y_{1,0}[/mm]
die vorgebenen Anfangbedingungen.
Dann ergibt sich nach Picard-Lindelöf:
[mm]\pmat{y_{0,k+1}\left(x\right) \\ y_{1,k+1}\left(x\right)}=\pmat{y_{0,0} \\ y_{1,0}}+\integral_{x_{0}}^{x}{ \pmat{y_{1,k}\left(s\right) \\ y_{1,k}\left(s\right)+s*y_{0,k}^{2}\left(s\right)} \ ds}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Sa 30.10.2010 | | Autor: | gollum13 |
Ah, Entschuldigung. Ich meinte eigentlich den Existenz- und Eindeutigkeitssatz und nicht die Iteration. Wobei es gut ist, dass ich nun auch gleich das gesehen habe.
Bzgl. Ex. und Eind. würde ich die Lipschitz-Bedingung wie folgt nachweisen:
linke seit als x' und die Matrix als A definieren und dann dementsprechend x'=Ax+b(t)=f(t,x) ---> [mm] ||(Ax_1+b(t))- (Ax_2+b(t)||=||Ax_1-Ax_2||<=||A||*||x_1-x_2||
[/mm]
Ist das richtig?
Dementsprechend würde jede lineare DGL 1.Ordnung die Vor. des Satzes erfüllen.
(Als Norm für die Matrix würde ich die Operatornorm nehmen)
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Hallo gollum13,
> Ah, Entschuldigung. Ich meinte eigentlich den Existenz- und
> Eindeutigkeitssatz und nicht die Iteration. Wobei es gut
> ist, dass ich nun auch gleich das gesehen habe.
> Bzgl. Ex. und Eind. würde ich die Lipschitz-Bedingung wie
> folgt nachweisen:
> linke seit als x' und die Matrix als A definieren und dann
> dementsprechend x'=Ax+b(t)=f(t,x) ---> [mm]||(Ax_1+b(t))- (Ax_2+b(t)||=||Ax_1-Ax_2||<=||A||*||x_1-x_2||[/mm]
>
> Ist das richtig?
Ja.
Hier ist die DGL 1. Ordnung nichtlinear.
> Dementsprechend würde jede lineare DGL 1.Ordnung die Vor.
> des Satzes erfüllen.
> (Als Norm für die Matrix würde ich die Operatornorm
> nehmen)
Gruss
MathePower
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