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| Aufgabe | Gegeben ist die Parabel [mm] f(x)=0,25x^2+2x+3,25.
[/mm]
P sei ein Punkt der Parabel im zweiten Quadranten. Die Parallelen zu den Koordinatenachsen durch diesen Punkt bilden mit den Koordinatenachsen ein Rechteck. Berechnen Sie die Koordinaten von P so, dass der Flächeninhalt maximal wird und geben Sie den maximalen Flächeninhalt an. |
Hallo,
ich ärgere mich gerade über diese Aufgabe. Eigentlich so einfach, aber ich glaube ich verzettel mich mit dem Vorzeichen bzw. meine Frage: Ich befinde mich im 2. Quadranten, dann muss ich doch die x-Komponente negativ annehmen und das kompensiere ich, damit der Flächeninhalt nicht negativ wird, indem ich die Hauptbedingung A=-a*b formuliere? Ich habe ein Problem mit dieser Formulierung der Hauptbedingung. Seht meine Rechnung:
Erstmal die Skizze:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Hauptbedingung:
A=-a*b
Nebenbedingung:
P(-a,b)
[mm] b=0,25a^{2}-2a+3,25
[/mm]
Zwischengedanke zu obiger Gleichung: x=-a, [mm] x^{2}=+a)
[/mm]
Zielfunktion (also Nebenbedingung in Hauptbedingung):
[mm] A=-a(0,25a^{2}-2a+3,25)
[/mm]
[mm] =-0,25a^{3}+2a^{2}-3,25a
[/mm]
[mm] A'=-0,75a^{2}+4a-3,25
[/mm]
[mm]A''=-1,5a+4[/mm]
[mm]A'=0[/mm]
[mm] -0,75a^{2}+4a-3,25=0
[/mm]
[mm] a^{2}-\bruch{16}{3}a+\bruch{13}{3}=0
[/mm]
[mm] a_{1}=\bruch{13}{3}
[/mm]
[mm] a_{2}=1
[/mm]
[mm]A''=-1,5a+4[/mm]
[mm] A''(a_{1})=-2,5 [/mm] <0 , Maximum!
[mm] A''(a_{2})=2,5 [/mm] >0 , Minimum!
Hier stoppe ich mal. Ich müsste jetzt [mm] a_{1} [/mm] in die Nebenbedingung einsetzen um [mm] b_{1} [/mm] zu erhalten. [mm] a_{1} [/mm] deshalb, weil ich hierfür ein Maximum bekomme.
Oder wähle ich das Minimum? Wenn ich das Minimum wähle, bekomme ich zwar die richtigen Werte heraus, also
[mm] a_{1}=1
[/mm]
[mm] b_{1}=1,5
[/mm]
Aber wenn ich beide in die Hauptbedingung einsetze, habe ich doch wieder dieses Minus dort stehen, das kann ich doch nicht einfach wegfallen lassen
A=-1*1,5=-1,5 (negativer FE geht nicht)
Ich hoffe ihr seht mein Problem.
Gruß, Andreas
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallochen,
deine Ansätze und Rechnungen sind im Prinzip richtig. Deine Verwunderung entsteht aufgrund eines Vorzeichenfehlers ziemlich am Anfang. Du schreibst die Funktionsgleichung falsch ab.
Für b gilt: [mm] b=0,25a^{2}+2a+3,25 [/mm] und nicht [mm] b=0,25a^{2}-2a+3,25
[/mm]
Rechne es so noch mal durch, dann gibt's auch ein sinnvolles Ergebnis.
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Hallo,
ich habe doch den Punkt P(-a,b), ich setze also x=-a und [mm] x^{2}=a^{2}. [/mm] Dann ergibt sich die Gleichung die ich angegeben habe.
[mm] f(x)=0,25x^{2}+2x+3,25
[/mm]
[mm] b=0,25a^{2}-2a+3,25
[/mm]
Die x-Koordinate (von mir mit a beschrieben) des Punktes ist aufgrund der Lage im 2. Quadranten doch negativ. Die y-Koordinate (bei mir b) bleibt positiv.
Oder ist es falsch a negativ anzunehmen bei den Punktkoordinaten. Es ist ja aber im negativen Achsenabschnitt...
Gruß, Andreas
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:52 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
weil du das Minus-Zeichen mit in die Skizze genommen hast, gehst du von einem positiven a-Wert aus und deshalb muss A = a*b angesetzt werden.
Gruß Sax.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:54 Sa 11.05.2013 | | Autor: | Mathe-Andi |
Das klingt sehr schlüssig  Jetzt passt es auch.
Vielen Dank!
Gruß, Andreas
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