Rechnen mit glm.konv.Fktfolgen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Do 26.01.2006 | | Autor: | DeusRa |
| Aufgabe | Sei $D [mm] \subset \IR$ [/mm] und seien [mm] $f_{n},g_{n}:D\to \IR$ [/mm] Funktionen, so dass die Funktionenfolgen [mm] $(f_{n})_{n \in \IN} [/mm] bzw. [mm] (g_{n})_{n \in \IN}$ [/mm] gleichmäßig gegen Funktionen $f,g:D [mm] \to \IR$ [/mm] konvergieren.
Beweisen Sie:
(a) Die Funktionenfolge [mm] $(f_{n}+g_{n})$ [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen $(f+g)$.
(b) Sei $c [mm] \in \IR$ [/mm] beliebig [mm] \Rightarrow $(c*f_{n})$ [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen $c*f$. |
Mein Beweis zu a)
Sei [mm] \varepsilon>0 [/mm] geg.
Da [mm] $f_{n},g_{n}$ [/mm] gleichmäßig gegen [mm] $f_{n},g_{n}$ [/mm] konvergieren [mm] \Rightarrow $|f_{n_{1}}(x)-f(x)|< \varepsilon/2$ [/mm] und [mm] $|g_{n_{2}}(x)-g(x)|< \varepsilon/2$
[/mm]
Sei $n:= [mm] max(n_{1},n_{2})$
[/mm]
Also sei nun
[mm] $|(f_{n}+g_{n})(x)-(f+g)(x)|=|f_{n}(x)+g_{n}(x)-f(x)+g(x)|=|f_{n}(x)-f(x)+g(x)-g_{n}(x)|\le |f_{n}(x)-f(x)|+|g_{n}(x)-g(x)|$< \varepsilon/2 [/mm] + [mm] \varepsilon/2 [/mm] = [mm] \varepsilon.
[/mm]
Kann man den Beweis so führen ???
b)
Sei $c [mm] \in \IR$ [/mm] bel. [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] $\limes_{n\rightarrow\infty}(c*f_{n}(x))$, [/mm] da c Konstante und somit Konvergent. [mm] \Rightarrow
[/mm]
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}c*\limes_{n\rightarrow\infty}f_{n}(x)=(Vor.)=c*f(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] (c*f)
Geht das als Beweis ?
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Hallo deusra,
a) ist meiner meinung nach absolut richtig.
bei b) musst du wohl auch wie bei a) formal ueber die definition gehen (epsilon,n), das finde ich bis jetzt noch nicht ausreichend.
VG
Matthias
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